Trigonometry : กฏของ cosine

Law of cosine หรือ cosine formula ว่าด้วยสัมพันธ์ระหว่างมุมภายในของสามเหลี่ยมกับความยาวของด้านตรงข้ามมุม หรือเป็นการขยายความ Pythagorian theorem ที่จำกัดอยู่กับสามเหลี่ยมมุมฉากไปสู่สามเหลี่ยมใด ๆ

จากรูปสามเหลี่ยม ABH, BCH เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น

AB²     =      BH²    +     AH² --- (1)

BC²      =     BH²     +     CH² --- (2)

AH      =     AC     +     CH --- (3)

(1) - (2) ,     AB²     -     BC²     =     AH²     -     CH²

 AB²     =     AH²     -     CH²     +     BC² --- (4)

จาก (3) ,     AH²     =     AC²     +     2(AC)(CH)     +     CH² --- (5)

แทน (5) ลงใน (4),      AB²     =     AC²     +     2(AC)(CH)     +     CH2  - CH2     +     BC²

 AB²     =      AC²     +     2(AC)(CH)      +     BC² --- (6)

เราทราบว่า

${\displaystyle CH=CB\times \cos (\pi -\gamma )}$

${\displaystyle CH=-CB\times \cos \left(\gamma \right)}$

แทนค่าลงใน (6)

${\displaystyle A{B}^2=A{C}^2-2\left(CB\right)\left(AC\right)\cos \left(\gamma \right)+B{C}^2}$

หรือ ${\displaystyle c^2=b^2-2ba\cos \left(\gamma \right)+a^2}$

ใช้เทคนิคเดียวกันจะสรุปได้ว่า

${\displaystyle a^2=b^2-\left(2bc\right)\cos \left(\alpha \right)+c^2}$

${\displaystyle b^2=a^2-\left(2ac\right)\cos \left(\beta \right)+c^2}$

${\displaystyle c^2=a^2-\left(2ab\right)\cos \left(\gamma \right)+b^2}$

หรืออาจเขียนอยู่ในรูปใหม่

${\displaystyle \cos \left(\gamma \right)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}$

${\displaystyle \cos \left(\beta \right)=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}$

${\displaystyle \cos \left(\alpha \right)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$

ตามที่กล่าวไว้ว่า Law of cosine แสดงความสัมพันธ์ระหว่างมุมกับความยาวด้านตรงข้ามมุม นั่นคือกฏนี้ช่วยให้เราสามารถคำนวณหามุมเมื่อทราบความยาวด้านหรือหาความยาวของด้านเมื่อทราบมุมนั่นเอง

ตัวอย่าง  หาค่าของมุมทั้งสามมุมเมื่อทราบความยาวด้าน

${\displaystyle \cos \left(\alpha \right)=\frac{6^2+8^2-7^2}{2\times 6\times 8}=0.53}$

${\displaystyle \cos \left(\beta \right)=\frac{6^2+7^2-8^2}{2\times 6\times 7}=0.25}$

จะได้

$$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=60$$

$$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=75.5$$

$$\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=44.5$$

---