Trigonometry : กฏของ cosine

Law of cosine หรือ cosine formula ว่าด้วยสัมพันธ์ระหว่างมุมภายในของสามเหลี่ยมกับความยาวของด้านตรงข้ามมุม หรือเป็นการขยายความ Pythagorian theorem ที่จำกัดอยู่กับสามเหลี่ยมมุมฉากไปสู่สามเหลี่ยมใด ๆ






จากรูปสามเหลี่ยม ABH, BCH เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น
AB2     =      BH2    +     AH2 --- (1)

BC2      =     BH2     +     CH2 --- (2)

AH      =     AC     +     CH --- (3)

(1) - (2) ,     AB2     -     BC2     =     AH2     -     CH2
 AB2     =     AH2     -     CH2     +     BC2 --- (4)


จาก (3) ,     AH2     =     AC2     +     2(AC)(CH)     +     CH2 --- (5)
แทน (5) ลงใน (4),      AB2     =     AC2     +     2(AC)(CH)     +     CH2  - CH2     +     BC2
 AB2     =      AC2     +     2(AC)(CH)      +     BC2 --- (6)


เราทราบว่า
CH=CB×cos(π-γ)

CH=-CB×cos(γ)
แทนค่าลงใน (6)

AB2=AC2-2(CB)(AC)cos(γ)+BC2

หรือ c2=b2-2bacos(γ)+a2

ใช้เทคนิคเดียวกันจะสรุปได้ว่า
a2=b2-(2bc)cos(α)+c2
b2=a2-(2ac)cos(β)+c2
c2=a2-(2ab)cos(γ)+b2


หรืออาจเขียนอยู่ในรูปใหม่
cos(γ)=a2+b2-c22ab
cos(β)=a2+c2-b22ac
cos(α)=b2+c2-a22bc

ตามที่กล่าวไว้ว่า Law of cosine แสดงความสัมพันธ์ระหว่างมุมกับความยาวด้านตรงข้ามมุม นั่นคือกฏนี้ช่วยให้เราสามารถคำนวณหามุมเมื่อทราบความยาวด้านหรือหาความยาวของด้านเมื่อทราบมุมนั่นเอง

ตัวอย่าง  หาค่าของมุมทั้งสามมุมเมื่อทราบความยาวด้าน


cos(α)=62+82-722×6×8=0.53
cos(β)=62+72-822×6×7=0.25

จะได้
α=60
β=75.5
γ=44.5

ความคิดเห็น