Logistic growth ตัวแบบการเพิ่มของประชากร

จากการศึกษาของ Pierre François Verhulst [1] ปรับปรุงโดย Raymond Pearl [2] และ Lowell Jacob Reed [3] สรุปได้ว่าการเติบโตของประชากรมีรูปแบบที่เรียกว่า Logistic growth เขียนแทนด้วยสมการ

$\frac{dP}{dt}=rP(\frac{K-P}{K})$

เมื่อ
$\frac{dP}{dt}$ คือจำนวนประชากรต่อหน่วยเวลา
r คือ อัตราการเพิ่มของประชากร ซึ่งเป็นค่าคงที่ในช่วงเวลาที่สนใจ
K คือ จำนวนประชากรสูงสุดที่เป็นไปได้ เรียกว่า carrying capacity
P คือ จำนวนประชากร ณ เวลา t ใด ๆ

ถ้าเราต้องการหาจำนวนประชากร ณ เวลา t เราต้องทำการ Integrate สมการข้างต้นกลับ

$$\frac{dP}{dt}=rP(\frac{K-P}{K})$$

$$dP=rP(\frac{K-P}{K})dt$$

$$\frac{dP}{P(K-P)}=rP(\frac{r}{K})dt$$

$${\int }_{\frac{dP}{P(K-P)}}={\int }_{\frac{r}{K}}dt$$

$${\int }_{\frac{dP}{P(K-P)}}=\frac{rt}{K}+C$$    , (C คือค่าคงที่ค่าหนึ่ง)

$$\frac{1}{K}{\int }_{(}\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P})dP=\frac{rt}{K}+C$$

$$\frac{1}{K}({\int }_{\frac{1}{P}}dP+{\int }_{\frac{1}{K-P}}dP)=\frac{rt}{K}+C$$

$$\frac{1}{K}(\ln (|P|)+C_1+\ln (|K-P|+C_2)=\frac{rt}{K}+C_3$$     ,(  $C_1,C_2,C_3$ คือค่าคงที่)

$$\ln \frac{P}{K-P}=rt+C$$ ,(รวม $C_1,C_2,C_3$ เป็นค่าคงที่ค่าเดียว)

$$\ln \frac{P}{K-P}=rt+C$$

$$\frac{P}{K-P}=e^{rt+C}$$

$$P=(K-P)e^{rt}{e}^C$$  ,( $e^C$ เป็นค่าคง เขียนใหม่ให้เป็น a)

$$P=e^{rt}aK-e^{rt}aP$$

$$P+e^{rt}aP=e^{rt}aK$$

$$P=e^{rt}aK$$

$$P=\frac{e^{rt}aK}{1+e^{rt}a}$$

$$P=\frac{K}{\frac{1}{e^{rt}a}+1}$$

$$P=\frac{K}{b{e}^{-rt}+1}$$

นั่นคือ จำนวนประชากร ณ เวลา t ใดๆ จะหาได้จากสมการ

$$P_t=\frac{K}{b{e}^{-rt}+1}$$

ณ จุดเริ่มต้น t = 0 จะได้ว่า

$P_0=\frac{K}{b+1}$

$b+1=\frac{K}{P_0}$

$b=\frac{K-P_0}{P_0}$

ทดลองกับตัวอย่างสมมุติ เมื่อกำหนดให้ประชากรเริ่มต้น (P0) คือ 1 คน จำนวนประชากรสูงสุดคือ 1000 คน ค่าคงที่ของการเพิ่มประชากรคือ 0.15

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

K = 1000
P0 = 1
b = (K - P0)/ P0
r = 0.15
yt = [K / (b * np.exp(-r*t) + 1) for t in range(100)]

plt.figure(figsize=(20,6))
plt.plot(range(100),yt,label='Logistic curve')
plt.ylabel("Population(Pt) ")
plt.xlabel("Time steps (days) ")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

จะเห็นได้ว่ารูปแบบของกราฟออกมาเป็นเหมือนรูปตัว S อธิบายได้ว่าการเพิ่มของจำนวนประชากรในธรรมชาติไม่สามารถเพิ่มไปได้โดยไม่มีหยุด ธรรมชาติมักจะมีกลไกในการควบคุมเสมอ เช่น โรคระบาด การล่า มลพิษ จำนวนทรัยากรที่จำกัด ปัญหาสังคม ฯล ทำให้การเพิ่มของประชากรจะเร่งได้ช่วงหนึ่งแล้วจะลดความเร็วของการเพิ่มจำนวนลงจนถึงจุดที่เรียกว่า carrying capacity จำนวนประชากรจะไม่สามารถเพิ่มได้อีก

-------------------------------------
เอกสารอ้างอิง 
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_Fran%C3%A7ois_Verhulst
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Raymond_Pearl
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Lowell_Reed