Basic Linear Algebra : Orthogonal Matrix

"Orthogomal matrix" คือ matrix ที่มีคุณสมบัติดังนี้
 1. เป็น sqaure matrix
 2. column vectors ตั้งฉากต่อกัน
 3. row vectors ตั้งฉากต่อกัน
 4. inverse matrix คือ transpose matrix

ถ้ากำหนดให้ $$V=\left[\begin{array}{ccc}0.91& -0.21& 0.36\\ 0.31& -0.22& -0.92\\ 0.27& 0.95& -0.14\end{array}\right]$$ ได้ column vectors ของ V ดังนี้ $${\overrightarrow{v}}_1=\left[\begin{array}{c}0.91\\ 0.31\\ 0.27\end{array}\right],{\overrightarrow{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-0.21\\ -0.22\\ 0.95\end{array}\right],{\overrightarrow{v}}_3=\left[\begin{array}{c}0.36\\ -0.92\\ -0.14\end{array}\right]$$ นำมาค่า dot product ของ column vectors ทีละคู่ $$\begin{array}{r}{\overrightarrow{v}}_1\cdot {\overrightarrow{v}}_2\approx 0.002\\ {\overrightarrow{v}}_1\cdot {\overrightarrow{v}}_3\approx 0.004\\ {\overrightarrow{v}}_2\cdot {\overrightarrow{v}}_3\approx -0.006\end{array}$$ จะเห็นว่ามีค่าใกล้เคียงศูนย์ (ไม่เท่ากับศูนย์ เนื่องจากค่าตัวเลขที่ยกมาเป็นตัวอย่างเกิดจากการประมาณค่า) ดูเหมือนว่า vectors เหล่านี้ตั้งฉากต่อกัน (orthogonal vectors)

เมื่อนำเอา column vectors มาหา norm (magnitude, length) พบว่า
$$\begin{array}{r}\Vert {\overrightarrow{v}}_1\Vert \approx 0.99\\ \Vert {\overrightarrow{v}}_2\Vert \approx 0.99\\ \Vert {\overrightarrow{v}}_3\Vert \approx 0.99\end{array}$$

หา inverse และ transpose ของ V $$\begin{array}{rl}{V}^{-1}& =\left[\begin{array}{ccc}0.91& 0.31& 0.27\\ -0.21& -0.23& 0.95\\ 0.36& -0.93& -0.14\end{array}\right]\\ \\ V^T& =\left[\begin{array}{ccc}0.91& 0.31& 0.27\\ -0.21& -0.23& 0.95\\ 0.36& -0.93& -0.14\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \therefore V^T=V^{-1}\end{array}$$

แสดงว่า

$$\begin{array}{}\text{(2)}& V\cdot V^T=V\cdot V^{-1}=I\end{array}$$

จากคุณสมบัติที่แสดงมา สรุปได้ matrix V เป็น orthogonal matrix นอกจากนี้ norm ของ column vectors หรือ row vectors มีค่าเป็น 1.0 (ใกล้ 1.0 มาก) ในกรณีนี้ จะเรียก matrix V ว่าเป็น "Orthonormal matrix"

ตัวอย่างหนึ่งของการใช้ประโยชน์ของ orthogonal matrix คือ rotation matrix

$$R=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$$

โดย $\theta$ คือมุมที่ต้องการให้ vector หมุนไป (ตามเข็มนาฬิกา) เช่น ต้องการให้ $\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ หมุนไป $\frac{\pi }{2}$ radians

$$\begin{array}{rl}{\overrightarrow{v}}^{\prime }& =\left[\begin{array}{cc}cos(\frac{\pi }{2})& sin(\frac{\pi }{2})\\ -sin(\frac{\pi }{2})& cos(\frac{\pi }{2})\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]\\ \\ {\overrightarrow{v}}^{\prime }& =\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]\end{array}$$

เอกสารอ้างอิง

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_matrix