Statistics : 2-way ANOVA

2-way ANOVA เป็นส่วนขยายมาจาก 1-way ANOVA [1] เพื่อใช้กับการทดสอบตัวแปรอิสระ 2 ตัว (2 independent variables, Factors) แต่ละตัวแปรอิสระนี้มีการแบ่งออกเป็น level ต่อไปอีกหลาย level ดังรูปที่ 1

รูปที่ 1 2-way ANOVA ใช้วิเคราะห์ผลของตัวแปรอิสระ (factor) 2  ตัวที่มีต่อตัวแปรตามที่ต้องการวัด

ฐานคติ (Assumptions)
เหมือนกับ one-way ANOVA เพิ่มเติมคือจำนวน sample size ต้องเท่ากัน

การตั้งสมมุติฐาน
มีการตั้ง Hypothesis 3 กลุ่ม คือ

1) Population means of the first factor are equal (main effect of factor A)
$H_0: {\mu }_1= {\mu }_2= {\mu }_3= . . . = {\mu }_a$
$H_a: \text{Not all } {\mu }_i\text{ are equal. }$

2)Population means of the second factor are equal (main effect of factor B)
$H_0: {\mu }_1= {\mu }_2= {\mu }_3= . . . = {\mu }_a$
$H_a: \text{Not all } {\mu }_i\text{ are equal. }$

3) There is not interaction between 2 factors
$H_0: \text{There is not interaction.}$
$H_a: \text{An interaction exists.}$

การเกิด interaction ระหว่าง factor คือการ combination กันระหว่าง level ย่อยของแต่ละ factor ดังรูปที่ 2 จำนวนที่เป็นไปได้ผลคูณระหว่างจำนวน level ของทั้ง factor

รูปที่  2 combination ระหว่าง level ภายในตัวแปรอิสระ

ยกตัวอย่าง ถ้าเรามีเมล็ดพันธ์ุพืช 3 สายพันธ์ุ  และมีวิธีการผสมอยู่ 5 วิธี หากเราต้องการวัดผลของการเพาะเมล็ดพันธุ์จากจำนวนการงอกและไม่งอก จะได้ combination หรือ group of treatment ทั้งหมด คือ 3 x 5 = 15  combination ดังตารางข้างล่าง

	Fert I	Fert II	Fert III	Fert IV	Fert V
สายพันธุ์ A	106,110	95,100	94, 107	103, 104	100, 102
สายพันธุ์ B	110, 112	98, 99	100, 101	108, 112	105, 107
สายพันธุ์  C	94, 97	86, 87	98, 99	99, 101	94, 98

การคำนวณ With equal replication
sources of variation :

Sum square within-cells
$$S{S}_{within-<!--\; -\; -->cell}=\underset{i=1}{\overset{a}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{b}{\sum <!--\; \sum \; -->}}[\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(X_{ijk}-<!--\; -\; -->{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}}_{ij}{)}^2]$$
$$D{F}_{within-<!--\; -\; -->cell}=ab(n-<!--\; -\; -->1)$$
$$MSE=\frac{S{S}_{within-<!--\; -\; -->cell}}{D{F}_{within-<!--\; -\; -->cell}}$$

Sum square between cells
$$S{S}_{between-<!--\; -\; -->cells}=\underset{i=1}{\overset{a}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{b}{\sum <!--\; \sum \; -->}}n({\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}}_{ij}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}{)}^2$$ $$D{F}_{between-<!--\; -\; -->cells}=ab-<!--\; -\; -->1$$

Sum square total
$$S{S}_{total}=\underset{i=1}{\overset{a}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{b}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(X_{ijk}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}{)}^2$$ $$D{F}_{total}=N-<!--\; -\; -->1$$

Sum square ของ Factor A
$$S{S}_{factor-<!--\; -\; -->A}=b\times <!--\; \times \; -->n\times <!--\; \times \; -->\underset{i=1}{\overset{a}{\sum <!--\; \sum \; -->}}({\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}}_{i.}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}{)}^2$$ $$D{F}_{factor-<!--\; -\; -->A}=a-<!--\; -\; -->1$$ $$M{S}_{factor-<!--\; -\; -->A}=\frac{S{S}_{factor-<!--\; -\; -->A}}{D{F}_{factor-<!--\; -\; -->A}}$$

Sum square ของ Factor B $$S{S}_{factor-<!--\; -\; -->B}=a\times <!--\; \times \; -->n\times <!--\; \times \; -->\underset{j=1}{\overset{b}{\sum <!--\; \sum \; -->}}({\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}}_{j.}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}{)}^2$$ $$D{F}_{factor-<!--\; -\; -->B}=b-<!--\; -\; -->1$$ $$M{S}_{factor-<!--\; -\; -->B}=\frac{S{S}_{factor-<!--\; -\; -->B}}{D{F}_{factor-<!--\; -\; -->B}}$$

Sum square ของ Factor A interact กับ Factor B $$S{S}_{A\times <!--\; \times \; -->B}=S{S}_{between-<!--\; -\; -->cells}-<!--\; -\; -->S{S}_{factor-<!--\; -\; -->A}-<!--\; -\; -->S{S}_{factor-<!--\; -\; -->B}$$ $$D{F}_{A\times <!--\; \times \; -->B}=D{F}_{between-<!--\; -\; -->cells}-<!--\; -\; -->D{F}_{factor-<!--\; -\; -->A}-<!--\; -\; -->D{F}_{factor-<!--\; -\; -->B}=(a-<!--\; -\; -->1)(b-<!--\; -\; -->1)$$ $$M{S}_{A\times <!--\; \times \; -->B}=\frac{S{S}_{A\times <!--\; \times \; -->B}}{D{F}_{A\times <!--\; \times \; -->B}}$$
เมื่อ
a = จำนวน levels ของ Factor A
b = จำนวน levels ของ Factor B
n = จำนวน replicates ใน cell
N = จำนวนข้อมูลทั้งหมด

ค่า F
H₀ : no effect of factor A $$F_{factor-<!--\; -\; -->A}=\frac{M{S}_{factor-<!--\; -\; -->A}}{M{S}_{within-<!--\; -\; -->cell}}$$
H₀: no effect of factor B
$$F_{factor-<!--\; -\; -->B}=\frac{M{S}_{factor-<!--\; -\; -->B}}{M{S}_{within-<!--\; -\; -->cell}}$$
H₀: No interaction between factor A and factor B
$$F_{A\times <!--\; \times \; -->B}=\frac{M{S}_{A\times <!--\; \times \; -->B}}{M{S}_{within-<!--\; -\; -->cell}}$$

เราทำการ reject H₀ ใดๆ ก็ต่อเมื่อ $F\ge <!--\; \ge \; -->F_{critical }$

${}_{}$ตาราง ANOVA

Source	df	SS	MS	F
A	a-1	SSA	$M{S}_A=\frac{S{S}_A}{a-<!--\; -\; -->1}$	$$\frac{M{S}_A}{M{S}_{within}}$$
B	b-1	SSB	$M{S}_B=\frac{S{S}_B}{b-<!--\; -\; -->1}$	$$\frac{M{S}_B}{M{S}_{within}}$$
AxB	(a-1)(b-1)	SSAxB	$M{S}_B=\frac{S{S}_{\mathrm{AxB}}}{\mathrm{(a}-<!--\; -\; -->\mathrm{1)}\mathrm{(b}-<!--\; -\; -->\mathrm{1)}}$	$$\frac{M{S}_{\mathrm{AxB}}}{M{S}_{within}}$$
Within	ab(r-1)	SSwithin	$M{S}_{\mathrm{within}}=\frac{S{S}_{\mathrm{within}}}{\mathrm{ab(r-1)}}$
Total	abr - 1	SSTotal

---

เอกสารอ้างอิง
[1] https://somchaisom.blogspot.com/2018/04/statistics-anova.html#more
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Two-way_analysis_of_variance