Statistics : 2-way ANOVA

2-way ANOVA เป็นส่วนขยายมาจาก 1-way ANOVA [1] เพื่อใช้กับการทดสอบตัวแปรอิสระ 2 ตัว (2 independent variables, Factors) แต่ละตัวแปรอิสระนี้มีการแบ่งออกเป็น level ต่อไปอีกหลาย level ดังรูปที่ 1

รูปที่ 1 2-way ANOVA ใช้วิเคราะห์ผลของตัวแปรอิสระ (factor) 2  ตัวที่มีต่อตัวแปรตามที่ต้องการวัด

ฐานคติ (Assumptions)
เหมือนกับ one-way ANOVA เพิ่มเติมคือจำนวน sample size ต้องเท่ากัน

การตั้งสมมุติฐาน
มีการตั้ง Hypothesis 3 กลุ่ม คือ

1) Population means of the first factor are equal (main effect of factor A)
H0:μ1=μ2=μ3=...=μa
Ha:Not all μi are equal. 

2)Population means of the second factor are equal (main effect of factor B)
H0:μ1=μ2=μ3=...=μa
Ha:Not all μi are equal. 

3) There is not interaction between 2 factors
H0:There is not interaction.
Ha:An interaction exists.

การเกิด interaction ระหว่าง factor คือการ combination กันระหว่าง level ย่อยของแต่ละ factor ดังรูปที่ 2 จำนวนที่เป็นไปได้ผลคูณระหว่างจำนวน level ของทั้ง factor

รูปที่  2 combination ระหว่าง level ภายในตัวแปรอิสระ

ยกตัวอย่าง ถ้าเรามีเมล็ดพันธ์ุพืช 3 สายพันธ์ุ  และมีวิธีการผสมอยู่ 5 วิธี หากเราต้องการวัดผลของการเพาะเมล็ดพันธุ์จากจำนวนการงอกและไม่งอก จะได้ combination หรือ group of treatment ทั้งหมด คือ 3 x 5 = 15  combination ดังตารางข้างล่าง
Fert I Fert II Fert III Fert IV Fert V
สายพันธุ์ A 106,110 95,100 94, 107 103, 104 100, 102
สายพันธุ์ B 110, 112 98, 99 100, 101 108, 112 105, 107
สายพันธุ์  C 94, 97 86, 87 98, 99 99, 101 94, 98

การคำนวณ With equal replication
sources of variation :

Sum square within-cells
SSwithincell=i=1aj=1b[k=1n(XijkX¯ij)2]
DFwithincell=ab(n1)
MSE=SSwithincellDFwithincell

Sum square between cells
SSbetweencells=i=1aj=1bn(X¯ijX¯)2 DFbetweencells=ab1

Sum square total
SStotal=i=1aj=1bk=1n(XijkX¯)2 DFtotal=N1

Sum square ของ Factor A
SSfactorA=b×n×i=1a(X¯i.X¯)2 DFfactorA=a1 MSfactorA=SSfactorADFfactorA

Sum square ของ Factor B SSfactorB=a×n×j=1b(X¯j.X¯)2 DFfactorB=b1 MSfactorB=SSfactorBDFfactorB

Sum square ของ Factor A interact กับ Factor B SSA×B=SSbetweencellsSSfactorASSfactorB DFA×B=DFbetweencellsDFfactorADFfactorB=(a1)(b1) MSA×B=SSA×BDFA×B
เมื่อ
a = จำนวน levels ของ Factor A
b = จำนวน levels ของ Factor B
n = จำนวน replicates ใน cell
N = จำนวนข้อมูลทั้งหมด

ค่า F
H0 : no effect of factor A FfactorA=MSfactorAMSwithincell
H0: no effect of factor B
FfactorB=MSfactorBMSwithincell
H0: No interaction between factor A and factor B
FA×B=MSA×BMSwithincell

เราทำการ reject H0 ใดๆ ก็ต่อเมื่อ FFcritical

msubตาราง ANOVA
SourcedfSSMSF
Aa-1SSAMSA=SSAa1MSAMSwithin
Bb-1SSBMSB=SSBb1MSBMSwithin
AxB(a-1)(b-1)SSAxBMSB=SSAxB(a1)(b1)MSAxBMSwithin
Withinab(r-1)SSwithinMSwithin=SSwithinab(r-1)
Totalabr - 1SSTotal









เอกสารอ้างอิง
[1] https://somchaisom.blogspot.com/2018/04/statistics-anova.html#more
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Two-way_analysis_of_variance

ความคิดเห็น