Statistics : T-test

T-test ใช้งานในสามรูปแบบ
1.  Independent Samples T-test ใช้ทดสอบความแตกต่างระหว่างค่า mean ของสองกลุ่มตัวอย่าง (sample mean) หรืออาจมองว่า T-test บอกถึงความน่าจะเป็นของความต่างดังกล่าว  เราจะใช้ในกรณีที่
  1.1 ไม่ทราบ population mean หรือ population standard deviation
  1.2 มีกลุ่มตัวอย่างสองกลุ่ม

2. Pair T-test ใช้ทดสอบความต่างของ mean จากกลุ่มตัวอย่างเดียวกัน ณ เวลาที่ต่างกัน
ชื่ออื่นได้แก่ correlated pair t-test, paired sample t-test, dependent pair t-test

3. One sample T-test ใช้ทดสอบค่าต่างระหว่างกลุ่มตัวอย่างเดียวกับค่า mean ที่ทราบค่าแล้ว เช่น ค่าเฉลี่ยของประชากร

Assumption ของ Independent Samples T-test
1. Independent ต้องมีข้อมูลของกลุ่มตัวอย่างสองกลุ่มที่ต้องการทดสอบความเป็นอิสระต่อกัน เช่น แยกกันระหว่างเพศชายและหญิง

 2. Normality คือการอยู่ภายใต้สมมุติฐานว่าข้อมูลของกลุ่มตัวอย่างมีการแจกแจงแบบปรกติ

3.  Homogeneity of variance คือ variance ของข้อมูลจากกลุ่มตัวอย่างมีค่าเท่ากัน


การตั้งสมมุติฐาน
$$H_o:{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_a={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_b$$

ขัันตอนการคำนวณ Independent Samples T-test

1. หา Square of sum     $(\underset{i=1}{\overset{n_a}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i^a{)}^2,(\underset{i=1}{\overset{n_b}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i^b{)}^2$

2. หา sample mean  ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}_a,{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}_b$

3. หา Sum of square   $\underset{i=1}{\overset{n_a}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(x_i^a{)}^2,\underset{i=1}{\overset{n_b}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(x_i^b{)}^2$

4. คำนวณค่า t จาก สูตร
$$t=\frac{{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}_a-{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}_b}{\sqrt{(\frac{1}{n_a}+\frac{1}{n_b})[\frac{(\sum <!--\; \sum \; -->x_a^2-<!--\; -\; -->\frac{(\sum <!--\; \sum \; -->x_a{)}^2}{n_a})+(\sum <!--\; \sum \; -->x_b^2-<!--\; -\; -->\frac{(\sum <!--\; \sum \; -->x_b{)}^2}{n_b})}{n_a+n_b-<!--\; -\; -->2}]}}$$

5.  หา degree of freedom จาก 
$$df=n_a+n_b-<!--\; -\; -->2,\text{ หรือ }(n_a-<!--\; -\; -->1)+(n_b-<!--\; -\; -->1)$$

6. กำหนดค่า alpha แล้วนำค่า t และ df ไปเทียบกับค่า t ใน t-table 

7. หากค่าที่ได้จากการคำนวณน้อยกว่าค่าวิกฤตที่ได้จากตาราง  หมายความว่า p-value มากกว่า alpha-value (ไม่สามารถระบุได้ว่ามีความแตกต่างของค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง)


Note :
$$t=\frac{\text{variation between groups}}{\text{variation within groups}}$$
$$\text{variation between groups}={\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}_a-<!--\; -\; -->{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}_b$$
$$\text{variation within groups}=\sqrt{(\frac{S_a^2}{n_a})+(\frac{S_b^2}{n_b})}$$
$$S^2=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(x_i-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}{)}^2}{n-<!--\; -\; -->1}$$