Gradient Vector

Gradient  = Derivative of function

---

$\frac{df(x)}{dx}$ หมายถึงการเปลี่ยนแปลงของ f(x) เทียบกับการเปลี่ยนแปลงของ x

---

Gradient Vector คือ Vector ที่
1. มีทิศทางชี้ไปทางที่มีการเปลี่ยนแปลงมากที่สุด (greatest increase of the function)
2. มีขนาดเป็น 0 ที่ local maximum หรือ local minimum (เพราะตำแหน่งทั้งสองไม่มีการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชั่นอีกแล้ว)
3. ไม่ได้ให้ข้อมูลว่าที่ไหน แต่ให้ข้อมูลว่ามีทิศทางใด (ทิศทางไหนเปลี่ยนแปลงมากจะหันไปทางนั้น)
4. เป็น vector ที่ตั้งฉากกับ f(x) , $▽f(x_0,y_0)$ ตั้งฉากกับ f(x,y) = k ที่จุด $(x_0,y_0)$
5. ไม่มี normal form

---

ขยายความคำว่า "เปลี่ยนแปลงมาก"

สมมุติว่าพาดไม้ไว้กับผนังดังภาพ แล้วบันไดเกิดการเลื่อนลงมา ดังภาพจะเห็นว่าระยะทางการเปลี่ยนแปลงในแนวตั้งมากกว่าแนวนอน พิจารณาอีกภาพหนึ่ง

ในวงกลมวงเดิม  เมื่อจุดสีแดงเปลี่ยนตำแหน่งไป การเปลี่ยนแปลงค่าของ coordinate ในแนวแกน X ไม่เท่ากับแนวแกน Y ในกรณีนี้เราจะได้ว่า การเปลี่ยนแปลงในแนวแกน Y มากกว่าแนวแกน X

ในชีวิตจริงปรากฏการณ์นี้ได้เกิดขึ้นตลอดเวลา ยกตัวอย่างข่าวนี้ มหาเศรษฐีได้บริจาคเงินจำนวนมาก (มองจากด้านของคนที่มีเงินน้อยกว่า) ให้กับการกุศล  การเปลี่ยนแปลงด้านการเงินของมหาเศรษฐีอาจจะน้อยมากจนไม่รู้สึกเดือดร้อนอะไร แต่การเปลี่ยนแปลงอันน้อยนี้ในอีกด้านกลับทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างมากต่อคนจำนวนมาก

---

จำนวนของ "อัตราการเปลี่ยนแปลง" มีเท่ากับจำนวนตัวแปรในฟังก์ชั่น เช่น
ถ้า F(x) มีตัวแปรเดียว จะมี 1 derivative ($\frac{dF}{dx}$ )
F(x,y,z) มีสามตัวแปรก็จะมี 3 derivatives ( $\frac{dF}{dx}$,$\frac{dF}{dy}$,$\frac{dF}{dz}$ )

ทิศทางของ Gradient ไม่จำเป็นต้องชี้ไปทางด้านที่เพิ่มค่าอย่างเดียว อาจชี้ไปทางที่ค่าลดลงก็ได้ เปรียบได้กับการขึ้น-ลง เขา

สัญญลักษณ์และการคำนวณ
$$\text{gradient of F(x,y,z)}=▽F(x,y,z)=(\frac{\text{d}F}{\text{d}x},\frac{\text{d}F}{\text{d}y},\frac{\text{d}F}{\text{d}z})$$
ถ้าพิจารณาให้ดี การหาค่าของ Gradient เหมือนกับการหา partial differentiation $$▽F(x,y,z)=(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})$$
$$F(x,y,z)=3x+2y^2+z^3$$ $$▽F(x,y,z)=(3,4y,3z^2)$$
สมมุติว่าตำแหน่งปัจจุบันคือ (1,2,3) ทิศทางของ Gradient ก็คือ
$$▽F(1,2,3)=(3,4(2),3(3{)}^2)$$ $$▽F(1,2,3)=(3,8,27)$$