Gradient = Derivative of function
Gradient Vector คือ Vector ที่
1. มีทิศทางชี้ไปทางที่มีการเปลี่ยนแปลงมากที่สุด (greatest increase of the function)
2. มีขนาดเป็น 0 ที่ local maximum หรือ local minimum (เพราะตำแหน่งทั้งสองไม่มีการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชั่นอีกแล้ว)
3. ไม่ได้ให้ข้อมูลว่าที่ไหน แต่ให้ข้อมูลว่ามีทิศทางใด (ทิศทางไหนเปลี่ยนแปลงมากจะหันไปทางนั้น)
4. เป็น vector ที่ตั้งฉากกับ f(x) , \( \triangledown f(x_0,y_0)\) ตั้งฉากกับ f(x,y) = k ที่จุด \((x_0,y_0) \)
5. ไม่มี normal form
จำนวนของ "อัตราการเปลี่ยนแปลง" มีเท่ากับจำนวนตัวแปรในฟังก์ชั่น เช่น
ถ้า F(x) มีตัวแปรเดียว จะมี 1 derivative (\( dF \over dx \) )
F(x,y,z) มีสามตัวแปรก็จะมี 3 derivatives ( \( dF \over dx\),\( dF \over dy \),\( dF \over dz \) )
ทิศทางของ Gradient ไม่จำเป็นต้องชี้ไปทางด้านที่เพิ่มค่าอย่างเดียว อาจชี้ไปทางที่ค่าลดลงก็ได้ เปรียบได้กับการขึ้น-ลง เขา
สัญญลักษณ์และการคำนวณ
$$\text {gradient of F(x,y,z)} = \triangledown F (x,y,z) = (\frac{\text{d}F}{\text{d}x},\frac{\text{d}F}{\text{d}y},\frac{\text{d}F}{\text{d}z})$$
ถ้าพิจารณาให้ดี การหาค่าของ Gradient เหมือนกับการหา partial differentiation $$ \triangledown F(x,y,z) = (\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}) $$
$$ F (x,y,z) = 3x + 2y^2 + z^3 $$ $$ \triangledown F(x,y,z) = (3,4y,3z^2)$$
สมมุติว่าตำแหน่งปัจจุบันคือ (1,2,3) ทิศทางของ Gradient ก็คือ
$$ \triangledown F(1,2,3) = (3,4(2),3(3)^2) $$ $$ \triangledown F(1,2,3) = (3,8,27) $$
\( df(x) \over dx \) หมายถึงการเปลี่ยนแปลงของ f(x) เทียบกับการเปลี่ยนแปลงของ x
Gradient Vector คือ Vector ที่
1. มีทิศทางชี้ไปทางที่มีการเปลี่ยนแปลงมากที่สุด (greatest increase of the function)
2. มีขนาดเป็น 0 ที่ local maximum หรือ local minimum (เพราะตำแหน่งทั้งสองไม่มีการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชั่นอีกแล้ว)
3. ไม่ได้ให้ข้อมูลว่าที่ไหน แต่ให้ข้อมูลว่ามีทิศทางใด (ทิศทางไหนเปลี่ยนแปลงมากจะหันไปทางนั้น)
4. เป็น vector ที่ตั้งฉากกับ f(x) , \( \triangledown f(x_0,y_0)\) ตั้งฉากกับ f(x,y) = k ที่จุด \((x_0,y_0) \)
5. ไม่มี normal form
ขยายความคำว่า "เปลี่ยนแปลงมาก"
สมมุติว่าพาดไม้ไว้กับผนังดังภาพ แล้วบันไดเกิดการเลื่อนลงมา ดังภาพจะเห็นว่าระยะทางการเปลี่ยนแปลงในแนวตั้งมากกว่าแนวนอน พิจารณาอีกภาพหนึ่ง
ในวงกลมวงเดิม เมื่อจุดสีแดงเปลี่ยนตำแหน่งไป การเปลี่ยนแปลงค่าของ coordinate ในแนวแกน X ไม่เท่ากับแนวแกน Y ในกรณีนี้เราจะได้ว่า การเปลี่ยนแปลงในแนวแกน Y มากกว่าแนวแกน X
ในชีวิตจริงปรากฏการณ์นี้ได้เกิดขึ้นตลอดเวลา ยกตัวอย่างข่าวนี้ มหาเศรษฐีได้บริจาคเงินจำนวนมาก (มองจากด้านของคนที่มีเงินน้อยกว่า) ให้กับการกุศล การเปลี่ยนแปลงด้านการเงินของมหาเศรษฐีอาจจะน้อยมากจนไม่รู้สึกเดือดร้อนอะไร แต่การเปลี่ยนแปลงอันน้อยนี้ในอีกด้านกลับทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างมากต่อคนจำนวนมาก
จำนวนของ "อัตราการเปลี่ยนแปลง" มีเท่ากับจำนวนตัวแปรในฟังก์ชั่น เช่น
ถ้า F(x) มีตัวแปรเดียว จะมี 1 derivative (\( dF \over dx \) )
F(x,y,z) มีสามตัวแปรก็จะมี 3 derivatives ( \( dF \over dx\),\( dF \over dy \),\( dF \over dz \) )
ทิศทางของ Gradient ไม่จำเป็นต้องชี้ไปทางด้านที่เพิ่มค่าอย่างเดียว อาจชี้ไปทางที่ค่าลดลงก็ได้ เปรียบได้กับการขึ้น-ลง เขา
สัญญลักษณ์และการคำนวณ
$$\text {gradient of F(x,y,z)} = \triangledown F (x,y,z) = (\frac{\text{d}F}{\text{d}x},\frac{\text{d}F}{\text{d}y},\frac{\text{d}F}{\text{d}z})$$
ถ้าพิจารณาให้ดี การหาค่าของ Gradient เหมือนกับการหา partial differentiation $$ \triangledown F(x,y,z) = (\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}) $$
$$ F (x,y,z) = 3x + 2y^2 + z^3 $$ $$ \triangledown F(x,y,z) = (3,4y,3z^2)$$
สมมุติว่าตำแหน่งปัจจุบันคือ (1,2,3) ทิศทางของ Gradient ก็คือ
$$ \triangledown F(1,2,3) = (3,4(2),3(3)^2) $$ $$ \triangledown F(1,2,3) = (3,8,27) $$
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น