อัตราส่วน ร้อยละ (Ratio and Percent)

อัตราส่วนคือ
1. การเปรียบเทียบปริมาณตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไป
2. ไม่สนใจหน่วยวัด

ให้ a, b, c เป็นปริมาณใด ๆ อัตราส่วนระหว่างจำนวนทั้งสามเขียนแทนด้วย a : b : c  ถ้ามีเพียงสองจำนวนอาจเขียนในรูปของเศษส่วนได้ เช่น  a : b คือ $\frac{a}{b}$

เช่น อัตราส่วนของนักเรียนหญิงต่อนักเรียนในชั้นเรียน A คือ 4 : 3  ตีความเบื้องต้นได้ว่าในชั้นเรียน A มีนักเรียนหญิง 4 คน และมีนักเรียนชาย 3 คน รวมทั้งหมด 4+3 = 7 คน แต่ในความเป็นจริงอาจมีจำนวนนักเรียนรวมมากกว่านี้ได้  หากมีจำนวนนักเรียนรวมแล้ว 28 คน เราก็จะสามารถนำอัตราส่วนนี้ไปหาจำนวนนักเรียนหญิงหรือชายที่มีอยู่จริงได้ ด้วยการหาตัวเลขมาคูณกับอัตราส่วนที่ทราบจะได้อัตราส่วนใหม่ แล้วนำเอาตัวเลขของอัตราส่วนมารวมกัน จนได้จำนวนรวมเท่ากับความจริง ตัวเลขที่ประกอบกันเป็นอัตราส่วนจะบอกถึงจำนวนนักเรียนหญิงและชายได้

$\frac{4}{3}\times 1=\frac{4}{3}$จำนวนนักเรียนคือ 4 + 3 = 7
$\frac{4}{3}\times 2=\frac{8}{6}$จำนวนนักเรียนคือ 8 + 6 = 14
$\frac{4}{3}\times 3=\frac{12}{9}$จำนวนนักเรียนคือ 12 + 9 = 21
$\frac{4}{3}\times 4=\frac{16}{12}$จำนวนนักเรียนคือ 16 + 12 = 28

ประเภทของอัตราส่วน
1. อัตราส่วนเชิงประกอบ คืออัตราส่วนที่เกิดจากการคูณกันระหว่างอัตราส่วน เช่น
$\frac{2}{3}\times \frac{4}{3}$ ได้อัตราส่วนใหม่เป็น $\frac{8}{9}$ หรือ 8 : 9
$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}$ ได้อัตราส่วนใหม่เป็น $\frac{ab}{cd}$ หรือ ab : cd
$\frac{a}{b}\times \frac{b}{c}\times \frac{c}{d}\times \frac{d}{e}$ ได้อัตราส่วนใหม่เป็น $\frac{a}{e}$ หรือ a : e
$\frac{a}{b}\times \frac{a}{b}$ ได้อัตราส่วนใหม่เป็น $\frac{a^2}{b^2}$ หรือ $a^2:b^2$

2. อัตราส่วนต่อเนื่อง ในบางกรณีอัตราส่วนมีส่วนที่สามารถนำมาเชื่อมกันได้ก็จะทำให้เกิดอัตราส่วนใหม่ได้ เช่น

A : B = 3 : 4 และ B : C = 4 : 9 เมื่อนำมาเชื่อมกันจะได้อัตราส่วนใหม่เป็น A : B : C คือ 3 : 4 : 9

สังเกตุว่าตัวเชื่อมคือ B ซึ่งมีอยู่ในทัังสองอัตราส่วน และมีค่าเท่ากันในสองอัตราส่วน การเชื่อมจึง
ทำได้ง่าย แต่ในกรณีที่ตัวเชื่อมมีค่าไม่เท่ากัน เช่น

A : B = 3 : 4 และ B : C = 6 : 7  จะไม่สามารถนำมาเชื่อมกันได้ทันที ต้องทำให้ B หรือ ตัวเชื่อมมีค่าเท่ากันเสียก่อน โดยใช้หลักการหา Least Common Multiple มาช่วย ขั้นตอนคือ

1. หา LCM (ค.ร.น) ของ B หรือตัวเชื่อม สำหรับทั้งสองอัตราส่วน
B ในอัตราส่วนที่ 1 มีค่าเป็น 4
B ในอัตราส่วนที่ 2 มีค่าเป็น 6
ได้ LCM  คือ 12

2. นำค่าของ B ในแต่ละอัตราส่วน ไปหารค่า LCM ที่ได้ เพื่อหาตัวคูณ
B ในอัตราส่วนที่ 1 มีค่าเป็น  4 นำไปหาร 12 ได้ตัวคุณคือ 3
B ในอัตราส่วนที่ 2 มีค่าเป็น 6 นำไปหาร 12 ได้ตัวคุณคือ 2

นำตัวคูณที่ได้กลับไปคูณอัตราส่วนเดิม
อัตราส่วน 1 : $\frac{3}{4}\times 3=\frac{9}{12}$
อัตราส่วน 2 : $\frac{6}{7}\times 2=\frac{12}{14}$

3. นำอัตราส่วนมาเชื่อมกัน จะได้ A : B : C = 9 : 12 : 14

อัตราส่วนที่เท่ากัน
1. เมื่อนำจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ มาคูณหรือหารอัตรส่วนใดๆ แล้ว จะได้อัตราส่วนใหม่ ที่ถือว่าเท่ากับอัตราส่วนเดิม

อัตราส่วนเดิม   4 : 5  คูณด้วย 3  จะได้ 4 : 5 x 3  = 12 : 15  จะถือว่า 4 : 5 = 12 : 15
อัตราส่วนเดิม   4 : 5  คูณด้วย  $\frac{1}{3}$  จะได้ 4 : 5 x $\frac{1}{3}$  = $\frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{3}}$  เขียนใหม่ได้เป็น  12 : 15

2. ทดสอบการเท่ากันของอัตราส่วนสองอัตราส่วนด้วยการคูณไขว้
30 : 42 กับ 10 : 14 ใช้คูณไขว้  30 x 14  และ 42 x 10 ซึ่งต่างก็มีค่าเป็น 420 ดังนั้นสรุปได้ว่า 30 : 42 = 10 : 14


3. เมื่อ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ แล้วจะได้ $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ และ $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$


ตัวอย่างปัญหา
1. ถ้า
A ทำงาน 8 วัน ได้ค่าจ้าง 896 บาท
B ทำงาน 17 วัน ได้ค่าจ้าง 2,108 บาท

จงหาอัตราส่วนรายได้ของ A : B

1. หาค่าจ้างต่อเวลา ของ A และ B

ค่าจ้างต่อเวลาของ A  คือ  $\frac{\text{ค่าจ้างที่ได้รับ}}{\text{เวลาทำงานทั้งหมด}}$ = $\frac{896}{8}=112:1$
ค่าจ้างต่อเวลาของ B  คือ  $\frac{\text{ค่าจ้างที่ได้รับ}}{\text{เวลาทำงานทั้งหมด}}$ = $\frac{2108}{17}=124:1$
ได้หน่วยเวลาที่เท่ากันแล้วคือ 1 วัน ดังนั้น อัตราส่วนรายได้ของ A : B = 112 : 124 = 28:31