อัตราส่วนคือ
1. การเปรียบเทียบปริมาณตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไป
2. ไม่สนใจหน่วยวัด
ให้ a, b, c เป็นปริมาณใด ๆ อัตราส่วนระหว่างจำนวนทั้งสามเขียนแทนด้วย a : b : c ถ้ามีเพียงสองจำนวนอาจเขียนในรูปของเศษส่วนได้ เช่น a : b คือ \( a \over b \)
เช่น อัตราส่วนของนักเรียนหญิงต่อนักเรียนในชั้นเรียน A คือ 4 : 3 ตีความเบื้องต้นได้ว่าในชั้นเรียน A มีนักเรียนหญิง 4 คน และมีนักเรียนชาย 3 คน รวมทั้งหมด 4+3 = 7 คน แต่ในความเป็นจริงอาจมีจำนวนนักเรียนรวมมากกว่านี้ได้ หากมีจำนวนนักเรียนรวมแล้ว 28 คน เราก็จะสามารถนำอัตราส่วนนี้ไปหาจำนวนนักเรียนหญิงหรือชายที่มีอยู่จริงได้ ด้วยการหาตัวเลขมาคูณกับอัตราส่วนที่ทราบจะได้อัตราส่วนใหม่ แล้วนำเอาตัวเลขของอัตราส่วนมารวมกัน จนได้จำนวนรวมเท่ากับความจริง ตัวเลขที่ประกอบกันเป็นอัตราส่วนจะบอกถึงจำนวนนักเรียนหญิงและชายได้
\( {4 \over 3} \times {1} = {4 \over 3}\)จำนวนนักเรียนคือ 4 + 3 = 7
\( {4 \over 3} \times {2} = {8 \over 6}\)จำนวนนักเรียนคือ 8 + 6 = 14
\( {4 \over 3} \times {3} = {12 \over 9}\)จำนวนนักเรียนคือ 12 + 9 = 21
\( {4 \over 3} \times {4} = {16 \over 12}\)จำนวนนักเรียนคือ 16 + 12 = 28
ประเภทของอัตราส่วน
1. อัตราส่วนเชิงประกอบ คืออัตราส่วนที่เกิดจากการคูณกันระหว่างอัตราส่วน เช่น
\( {2 \over 3} \times {4 \over 3} \) ได้อัตราส่วนใหม่เป็น \( 8 \over 9 \) หรือ 8 : 9
\( {a \over b} \times {c \over d} \) ได้อัตราส่วนใหม่เป็น \( {ab} \over {cd} \) หรือ ab : cd
\( {a \over b} \times {b \over c} \times {c \over d} \times {d \over e} \) ได้อัตราส่วนใหม่เป็น \( {a} \over {e} \) หรือ a : e
\( {a \over b} \times {a \over b} \) ได้อัตราส่วนใหม่เป็น \( {a^2} \over {b^2} \) หรือ \(a^2 : b^2 \)
2. อัตราส่วนต่อเนื่อง ในบางกรณีอัตราส่วนมีส่วนที่สามารถนำมาเชื่อมกันได้ก็จะทำให้เกิดอัตราส่วนใหม่ได้ เช่น
A : B = 3 : 4 และ B : C = 4 : 9 เมื่อนำมาเชื่อมกันจะได้อัตราส่วนใหม่เป็น A : B : C คือ 3 : 4 : 9
สังเกตุว่าตัวเชื่อมคือ B ซึ่งมีอยู่ในทัังสองอัตราส่วน และมีค่าเท่ากันในสองอัตราส่วน การเชื่อมจึง
ทำได้ง่าย แต่ในกรณีที่ตัวเชื่อมมีค่าไม่เท่ากัน เช่น
A : B = 3 : 4 และ B : C = 6 : 7 จะไม่สามารถนำมาเชื่อมกันได้ทันที ต้องทำให้ B หรือ ตัวเชื่อมมีค่าเท่ากันเสียก่อน โดยใช้หลักการหา Least Common Multiple มาช่วย ขั้นตอนคือ
1. หา LCM (ค.ร.น) ของ B หรือตัวเชื่อม สำหรับทั้งสองอัตราส่วน
B ในอัตราส่วนที่ 1 มีค่าเป็น 4
B ในอัตราส่วนที่ 2 มีค่าเป็น 6
ได้ LCM คือ 12
2. นำค่าของ B ในแต่ละอัตราส่วน ไปหารค่า LCM ที่ได้ เพื่อหาตัวคูณ
B ในอัตราส่วนที่ 1 มีค่าเป็น 4 นำไปหาร 12 ได้ตัวคุณคือ 3
B ในอัตราส่วนที่ 2 มีค่าเป็น 6 นำไปหาร 12 ได้ตัวคุณคือ 2
นำตัวคูณที่ได้กลับไปคูณอัตราส่วนเดิม
อัตราส่วน 1 : \( {{3 \over 4} \times {3}} = {{9} \over {12}}\)
อัตราส่วน 2 : \( {{6 \over 7} \times {2}} = {{12} \over {14}}\)
3. นำอัตราส่วนมาเชื่อมกัน จะได้ A : B : C = 9 : 12 : 14
อัตราส่วนที่เท่ากัน
1. เมื่อนำจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ มาคูณหรือหารอัตรส่วนใดๆ แล้ว จะได้อัตราส่วนใหม่ ที่ถือว่าเท่ากับอัตราส่วนเดิม
อัตราส่วนเดิม 4 : 5 คูณด้วย 3 จะได้ 4 : 5 x 3 = 12 : 15 จะถือว่า 4 : 5 = 12 : 15
อัตราส่วนเดิม 4 : 5 คูณด้วย \( 1 \over 3 \) จะได้ 4 : 5 x \(1 \over 3 \) = \( {4 \over 3} \over { 5 \over 3} \) เขียนใหม่ได้เป็น 12 : 15
2. ทดสอบการเท่ากันของอัตราส่วนสองอัตราส่วนด้วยการคูณไขว้
30 : 42 กับ 10 : 14 ใช้คูณไขว้ 30 x 14 และ 42 x 10 ซึ่งต่างก็มีค่าเป็น 420 ดังนั้นสรุปได้ว่า 30 : 42 = 10 : 14
3. เมื่อ \( {a \over b} = {c \over d}\) แล้วจะได้ \({b \over a} = {d \over c} \) และ \({a \over c} = {b \over d} \)
ตัวอย่างปัญหา
1. ถ้า
A ทำงาน 8 วัน ได้ค่าจ้าง 896 บาท
B ทำงาน 17 วัน ได้ค่าจ้าง 2,108 บาท
จงหาอัตราส่วนรายได้ของ A : B
1. หาค่าจ้างต่อเวลา ของ A และ B
ค่าจ้างต่อเวลาของ A คือ \( \text{ค่าจ้างที่ได้รับ} \over \text{เวลาทำงานทั้งหมด} \) = \( {896 \over 8} = 112 :1 \)
ค่าจ้างต่อเวลาของ B คือ \( \text{ค่าจ้างที่ได้รับ} \over \text{เวลาทำงานทั้งหมด} \) = \( {2108 \over 17} = 124 :1 \)
ได้หน่วยเวลาที่เท่ากันแล้วคือ 1 วัน ดังนั้น อัตราส่วนรายได้ของ A : B = 112 : 124 = 28:31
1. การเปรียบเทียบปริมาณตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไป
2. ไม่สนใจหน่วยวัด
ให้ a, b, c เป็นปริมาณใด ๆ อัตราส่วนระหว่างจำนวนทั้งสามเขียนแทนด้วย a : b : c ถ้ามีเพียงสองจำนวนอาจเขียนในรูปของเศษส่วนได้ เช่น a : b คือ \( a \over b \)
เช่น อัตราส่วนของนักเรียนหญิงต่อนักเรียนในชั้นเรียน A คือ 4 : 3 ตีความเบื้องต้นได้ว่าในชั้นเรียน A มีนักเรียนหญิง 4 คน และมีนักเรียนชาย 3 คน รวมทั้งหมด 4+3 = 7 คน แต่ในความเป็นจริงอาจมีจำนวนนักเรียนรวมมากกว่านี้ได้ หากมีจำนวนนักเรียนรวมแล้ว 28 คน เราก็จะสามารถนำอัตราส่วนนี้ไปหาจำนวนนักเรียนหญิงหรือชายที่มีอยู่จริงได้ ด้วยการหาตัวเลขมาคูณกับอัตราส่วนที่ทราบจะได้อัตราส่วนใหม่ แล้วนำเอาตัวเลขของอัตราส่วนมารวมกัน จนได้จำนวนรวมเท่ากับความจริง ตัวเลขที่ประกอบกันเป็นอัตราส่วนจะบอกถึงจำนวนนักเรียนหญิงและชายได้
\( {4 \over 3} \times {1} = {4 \over 3}\)จำนวนนักเรียนคือ 4 + 3 = 7
\( {4 \over 3} \times {2} = {8 \over 6}\)จำนวนนักเรียนคือ 8 + 6 = 14
\( {4 \over 3} \times {3} = {12 \over 9}\)จำนวนนักเรียนคือ 12 + 9 = 21
\( {4 \over 3} \times {4} = {16 \over 12}\)จำนวนนักเรียนคือ 16 + 12 = 28
ประเภทของอัตราส่วน
1. อัตราส่วนเชิงประกอบ คืออัตราส่วนที่เกิดจากการคูณกันระหว่างอัตราส่วน เช่น
\( {2 \over 3} \times {4 \over 3} \) ได้อัตราส่วนใหม่เป็น \( 8 \over 9 \) หรือ 8 : 9
\( {a \over b} \times {c \over d} \) ได้อัตราส่วนใหม่เป็น \( {ab} \over {cd} \) หรือ ab : cd
\( {a \over b} \times {b \over c} \times {c \over d} \times {d \over e} \) ได้อัตราส่วนใหม่เป็น \( {a} \over {e} \) หรือ a : e
\( {a \over b} \times {a \over b} \) ได้อัตราส่วนใหม่เป็น \( {a^2} \over {b^2} \) หรือ \(a^2 : b^2 \)
2. อัตราส่วนต่อเนื่อง ในบางกรณีอัตราส่วนมีส่วนที่สามารถนำมาเชื่อมกันได้ก็จะทำให้เกิดอัตราส่วนใหม่ได้ เช่น
A : B = 3 : 4 และ B : C = 4 : 9 เมื่อนำมาเชื่อมกันจะได้อัตราส่วนใหม่เป็น A : B : C คือ 3 : 4 : 9
สังเกตุว่าตัวเชื่อมคือ B ซึ่งมีอยู่ในทัังสองอัตราส่วน และมีค่าเท่ากันในสองอัตราส่วน การเชื่อมจึง
ทำได้ง่าย แต่ในกรณีที่ตัวเชื่อมมีค่าไม่เท่ากัน เช่น
A : B = 3 : 4 และ B : C = 6 : 7 จะไม่สามารถนำมาเชื่อมกันได้ทันที ต้องทำให้ B หรือ ตัวเชื่อมมีค่าเท่ากันเสียก่อน โดยใช้หลักการหา Least Common Multiple มาช่วย ขั้นตอนคือ
1. หา LCM (ค.ร.น) ของ B หรือตัวเชื่อม สำหรับทั้งสองอัตราส่วน
B ในอัตราส่วนที่ 1 มีค่าเป็น 4
B ในอัตราส่วนที่ 2 มีค่าเป็น 6
ได้ LCM คือ 12
2. นำค่าของ B ในแต่ละอัตราส่วน ไปหารค่า LCM ที่ได้ เพื่อหาตัวคูณ
B ในอัตราส่วนที่ 1 มีค่าเป็น 4 นำไปหาร 12 ได้ตัวคุณคือ 3
B ในอัตราส่วนที่ 2 มีค่าเป็น 6 นำไปหาร 12 ได้ตัวคุณคือ 2
นำตัวคูณที่ได้กลับไปคูณอัตราส่วนเดิม
อัตราส่วน 1 : \( {{3 \over 4} \times {3}} = {{9} \over {12}}\)
อัตราส่วน 2 : \( {{6 \over 7} \times {2}} = {{12} \over {14}}\)
อัตราส่วนที่เท่ากัน
1. เมื่อนำจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ มาคูณหรือหารอัตรส่วนใดๆ แล้ว จะได้อัตราส่วนใหม่ ที่ถือว่าเท่ากับอัตราส่วนเดิม
อัตราส่วนเดิม 4 : 5 คูณด้วย 3 จะได้ 4 : 5 x 3 = 12 : 15 จะถือว่า 4 : 5 = 12 : 15
อัตราส่วนเดิม 4 : 5 คูณด้วย \( 1 \over 3 \) จะได้ 4 : 5 x \(1 \over 3 \) = \( {4 \over 3} \over { 5 \over 3} \) เขียนใหม่ได้เป็น 12 : 15
2. ทดสอบการเท่ากันของอัตราส่วนสองอัตราส่วนด้วยการคูณไขว้
30 : 42 กับ 10 : 14 ใช้คูณไขว้ 30 x 14 และ 42 x 10 ซึ่งต่างก็มีค่าเป็น 420 ดังนั้นสรุปได้ว่า 30 : 42 = 10 : 14
3. เมื่อ \( {a \over b} = {c \over d}\) แล้วจะได้ \({b \over a} = {d \over c} \) และ \({a \over c} = {b \over d} \)
ตัวอย่างปัญหา
1. ถ้า
A ทำงาน 8 วัน ได้ค่าจ้าง 896 บาท
B ทำงาน 17 วัน ได้ค่าจ้าง 2,108 บาท
จงหาอัตราส่วนรายได้ของ A : B
1. หาค่าจ้างต่อเวลา ของ A และ B
ค่าจ้างต่อเวลาของ A คือ \( \text{ค่าจ้างที่ได้รับ} \over \text{เวลาทำงานทั้งหมด} \) = \( {896 \over 8} = 112 :1 \)
ค่าจ้างต่อเวลาของ B คือ \( \text{ค่าจ้างที่ได้รับ} \over \text{เวลาทำงานทั้งหมด} \) = \( {2108 \over 17} = 124 :1 \)
ได้หน่วยเวลาที่เท่ากันแล้วคือ 1 วัน ดังนั้น อัตราส่วนรายได้ของ A : B = 112 : 124 = 28:31
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น