Basic Data Science : ระยะทางระหว่างจุดกับเส้นตรง (Perpendicular distance from point to line)

กำหนดให้เส้นตรง $\overline{AB}$ แทนด้วยสมการ ax + by + c = 0 มีจุด P (m,n) อยู่ภายนอกเส้นตรง และมีจุด Q  เป็นจุดบนเส้นตรง $\overline{AB}$

จากกำหนดทราบว่าความชันของ $\overline{AB}$ คือ $\frac{\mathbf{-}\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$ การหาระยะทางจากจุด P ไปยังเส้นตรง $\overline{AB}$ สามารถหาได้โดย

สร้างเส้นตรง ที่ขนานกับ $\overline{AB}$ และผ่านจุด P(m,n) และเส้นตรง $\overline{ST}$ ขนานเส้นตรง $\overline{PQ}$  โดยให้ผ่านจุด (0,0)

$\overline{\mathbf{C}\mathbf{D}}\parallel \overline{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ ดังนั้น $\overline{\mathbf{C}\mathbf{D}}$ มีความชันเท่ากับ $\frac{\mathbf{-}\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$

$\frac{\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{n}}{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{m}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$

$\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{n}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{(}\mathbf{m}\mathbf{-}\mathbf{x}\mathbf{)}$

$\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{n}}{\mathbf{b}}⇢\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{)}$

และ $\overline{\mathbf{S}\mathbf{T}}\perp \overline{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ ทำให้ $\overline{\mathbf{S}\mathbf{T}}$ มีความชันมีค่าเท่ากับ $\frac{b}{a}$(ผลคูณของความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกันคือ -1) และเนื่องจากจุด (0,0) อยู่บนเส้นตรงจึงได้สมการเป็น

$\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}\mathbf{x}⇢\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{)}$

จากภาพ $\overline{\mathbf{S}\mathbf{T}}$ ตัดกับ $\overline{\mathbf{C}\mathbf{D}}$ ณ จุด T คือจุดที่ (1) = (2)

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{n}}{\mathbf{b}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}\mathbf{x}$

$\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{n}\mathbf{)}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}⇢\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{)}$

นำ (3) ไปแทนใน (2) ได้

$\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{b}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{n}\mathbf{)}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}⇢\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{)}$

นั่นคือจุดตัดของ เส้นตรง ST และ CD ที่จุด T คือ $\mathbf{(}\frac{\mathbf{a}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{n}\mathbf{)}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{b}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{n}\mathbf{)}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{)}⇢\mathbf{(}\mathbf{5}\mathbf{)}$

ทำนองเดียวกัน จุด S คือ จุดตัดของเส้นตรง ST และ AB ณ จุด S จะได้

$\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{a}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{c}}{\mathbf{b}}$

$\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{a}\mathbf{c}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}⇢\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{)}$


นำไปแทนใน (2) ได้ $\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{b}\mathbf{c}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}⇢\mathbf{(}\mathbf{7}\mathbf{)}$

นั่้นคือจุด S เป็น     $\mathbf{(}\mathbf{-}\frac{\mathbf{a}\mathbf{c}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{,}\mathbf{-}\frac{\mathbf{b}\mathbf{c}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{)}⇢\mathbf{(}\mathbf{8}\mathbf{)}$

จาก (5) และ (8) ทำให้เราสามารถหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดได้จากสูตร

$\mathbf{D}\mathbf{=}\sqrt[\mathbf{2}]{\mathbf{(}{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}{\mathbf{y}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}$

$\mathbf{D}\mathbf{=}\sqrt[\mathbf{2}]{\mathbf{(}\frac{\mathbf{a}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{n}\mathbf{)}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{a}\mathbf{c}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\frac{\mathbf{b}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{n}\mathbf{)}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{b}\mathbf{c}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}$

$\mathbf{D}\mathbf{=}\sqrt[\mathbf{2}]{\mathbf{[}\frac{\mathbf{(}{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{a}\mathbf{c}\mathbf{)}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{]}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{[}\frac{{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{c}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{]}}^{\mathbf{2}}}$

$\mathbf{D}\mathbf{=}\sqrt[\mathbf{2}]{\frac{\mathbf{(}{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{c}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}}$

$\mathbf{D}\mathbf{=}\sqrt[\mathbf{2}]{\frac{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{c}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}}⇢\mathbf{(}\mathbf{9}\mathbf{)}$

จาก (9) สามารถเขียนในรูปแบบใหม่คือ $\mathbf{D}\mathbf{=}\frac{\mid \mathbf{a}{\mathbf{x}}_{\mathbf{p}}\mathbf{+}\mathbf{b}{\mathbf{y}}_{\mathbf{p}}\mathbf{+}\mathbf{c}\mid }{\sqrt[\mathbf{2}]{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}}⇢\mathbf{(}\mathbf{10}\mathbf{)}$

ระยะห่างระหว่างจุด $P(x_p,y_p)$ กับเส้นตรง $ax+by+c=0$ หาได้จาก $\mathbf{D}\mathbf{=}\frac{\mid \mathbf{a}{\mathbf{x}}_{\mathbf{p}}\mathbf{+}\mathbf{b}{\mathbf{y}}_{\mathbf{p}}\mathbf{+}\mathbf{c}\mid }{\sqrt[\mathbf{2}]{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}}$