กำหนดให้เส้นตรง \(\overline{AB} \) แทนด้วยสมการ ax + by + c = 0 มีจุด P (m,n) อยู่ภายนอกเส้นตรง และมีจุด Q เป็นจุดบนเส้นตรง \(\overline{AB} \)
จากกำหนดทราบว่าความชันของ \(\overline{AB} \) คือ \(\bf \large \frac{-a}{b} \) การหาระยะทางจากจุด P ไปยังเส้นตรง \(\overline{AB} \) สามารถหาได้โดย
สร้างเส้นตรง ที่ขนานกับ \(\overline{AB} \) และผ่านจุด P(m,n) และเส้นตรง \(\overline{ST} \) ขนานเส้นตรง \(\overline{PQ} \) โดยให้ผ่านจุด (0,0)
\(\bf \large \overline{CD} \parallel \overline{AB} \) ดังนั้น \(\bf \large \overline{CD} \) มีความชันเท่ากับ \(\bf \large \frac {-a}{b} \)
\(\bf \large \frac{y-n}{x-m} = \frac{-a}{b} \)
\(\bf \large y-n = \frac{-a}{b} (m-x)\)
\(\bf \large y = \frac{-ax +am + bn}{b} \dashrightarrow (1)\)
และ \(\bf \large \overline{ST} \perp \overline{AB} \) ทำให้ \(\bf \large \overline{ST} \) มีความชันมีค่าเท่ากับ \(\frac{b}{a} \)(ผลคูณของความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกันคือ -1) และเนื่องจากจุด (0,0) อยู่บนเส้นตรงจึงได้สมการเป็น
\( \bf \large y = \frac{b}{a}x \dashrightarrow (2)\)
จากภาพ \( \bf \large \overline{ST}\) ตัดกับ \( \bf \large \overline{CD}\) ณ จุด T คือจุดที่ (1) = (2)
\(\bf \large \frac{-ax +am + bn}{b} = \frac{b}{a}x\)
\(\bf \large x = \frac{a(am + bn)}{a^2+b^2} \dashrightarrow (3)\)
นำ (3) ไปแทนใน (2) ได้
\(\bf \large y = \frac{b(am + bn)}{a^2+b^2} \dashrightarrow (4)\)
นั่นคือจุดตัดของ เส้นตรง ST และ CD ที่จุด T คือ \(\bf \large (\frac{a(am + bn)}{a^2+b^2} ,\frac{b(am + bn)}{a^2+b^2}) \dashrightarrow (5)\)
ทำนองเดียวกัน จุด S คือ จุดตัดของเส้นตรง ST และ AB ณ จุด S จะได้
\(\bf \large \frac{b}{a}x = -\frac{ax+c}{b} \)
\(\bf \large x = -\frac{ac}{a^2+b^2} \dashrightarrow (6) \)
นำไปแทนใน (2) ได้ \(\bf \large y = -\frac{bc}{a^2+b^2} \dashrightarrow (7) \)
นั่้นคือจุด S เป็น \(\bf \large (-\frac{ac}{a^2+b^2},-\frac{bc}{a^2+b^2}) \dashrightarrow (8) \)
จาก (5) และ (8) ทำให้เราสามารถหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดได้จากสูตร
\(\bf \large D =\sqrt[2]{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \)
\(\bf \large D =\sqrt[2]{(\frac{a(am + bn)}{a^2+b^2}+\frac{ac}{a^2+b^2})^2 + (\frac{b(am + bn)}{a^2+b^2}+\frac{bc}{a^2+b^2})^2} \)
\(\bf \large D =\sqrt[2]{[\frac{(a^2m + abn + ac)}{a^2+b^2}]^2 + [\frac{b^2n+abm+bc}{a^2+b^2}]^2} \)
\(\bf \large D = \sqrt[2]{\frac{(a^2+b^2)(am+bn+c)^2}{a^2+b^2}} \)
\(\bf \large D = \sqrt[2]{\frac{(am+bn+c)^2}{a^2+b^2}} \dashrightarrow (9) \)
จาก (9) สามารถเขียนในรูปแบบใหม่คือ \(\bf \large D = \frac {\mid ax_p+by_p+c \mid }{\sqrt[2]{a^2+b^2}}\dashrightarrow (10) \)
ระยะห่างระหว่างจุด \(P (x_p,y_p) \) กับเส้นตรง \(ax+by +c = 0 \) หาได้จาก \( \bf \large D = \frac {\mid ax_p+by_p+c \mid }{\sqrt[2]{a^2+b^2}} \)
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น