พิจารณาลำดับ (sequence) ของตัวเลขนี้
\( 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,128, .... \)
สามารถเขียนใหม่เป็น
\(1 \times 2^0, 1 \times 2^1, 1 \times 2^2, 1 \times 2^3, 1 \times 2^4,, 1 \times 2^5, 1 \times 2^6, 1 \times 2^7,... \)
แต่ละ term ประกอบด้วยสองส่วน คือ ส่วนค่าคงที่ (ในที่นี้คือ 1 ) และส่วนที่เป็นตัวคูณ ซึ่งจะมีการเพิ่มค่าขึ้นไปเรื่อยๆ (ในที่นี้คือ \( 2^n\), n คือตำแหน่งในลำดับอของ term นั้น )
เราสามารถเขียนรูปแบบทั่วไป (general form) ของลำดับ ณ ตำแหน่งใดๆ คือ
เมื่อ
a คือค่าคงที่
r คือตัวคูณ
n คือเลขแทนตำแหน่ง
และลำดับแบบนี้เรียกว่า geometric sequence หรืออนุกรมเรขาคณิต
ยกตัวอย่าง
10, 30, 90, 270,810,...
เขียนในรูปแบบ general form คือ
\( 10 \times 3^0, 10 \times 3^1, 10 \times 3^2, 10 \times 3^3,, 10 \times 3^4,...\)
ทำไมถึงเรียกว่า Geometric sequence ลองพิจารณาดูว่า ถ้ากำหนดให้ \( r = \frac{1}{2}\) และ a = 1 การเขียนลำดับจะเหมือนกับการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมสีม่วง ซึ่งเป็นเนื้อหาที่ว่ากันในวิชาเรขาคณิต
By en:User:Jim.belk (original); Pbroks13 (talk) (redraw) - en:Image:GeometricSquares.png, Public Domain, Link
Sum of Geometric Sequence (finite terms)
อยู่ในรูป
หรือ
เราอาจเขียนใหม่ในรูปแบบ
เพื่อจะหาค่าของ \( S_n\) ขอให้พิจารณาผลลัพธ์ของ \( \frac{x^n -1}{x-1}\) โดยอ้างอิง Polynomial Remainder Theorem [1] จะได้ว่า
หากเราแทน x ด้วย r เราก็จะสามารถหาค่าของ \( S_n\) ได้
\( S_n = a \frac{r^n-1}{r-1} \longrightarrow (2)\)
เอกสารอ้างอิง
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_remainder_theorem
\( 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,128, .... \)
สามารถเขียนใหม่เป็น
\(1 \times 2^0, 1 \times 2^1, 1 \times 2^2, 1 \times 2^3, 1 \times 2^4,, 1 \times 2^5, 1 \times 2^6, 1 \times 2^7,... \)
แต่ละ term ประกอบด้วยสองส่วน คือ ส่วนค่าคงที่ (ในที่นี้คือ 1 ) และส่วนที่เป็นตัวคูณ ซึ่งจะมีการเพิ่มค่าขึ้นไปเรื่อยๆ (ในที่นี้คือ \( 2^n\), n คือตำแหน่งในลำดับอของ term นั้น )
เราสามารถเขียนรูปแบบทั่วไป (general form) ของลำดับ ณ ตำแหน่งใดๆ คือ
\(X_n = ar^{n-1} \longrightarrow (1)\)
เมื่อ
a คือค่าคงที่
r คือตัวคูณ
n คือเลขแทนตำแหน่ง
และลำดับแบบนี้เรียกว่า geometric sequence หรืออนุกรมเรขาคณิต
ยกตัวอย่าง
10, 30, 90, 270,810,...
เขียนในรูปแบบ general form คือ
\( 10 \times 3^0, 10 \times 3^1, 10 \times 3^2, 10 \times 3^3,, 10 \times 3^4,...\)
ทำไมถึงเรียกว่า Geometric sequence ลองพิจารณาดูว่า ถ้ากำหนดให้ \( r = \frac{1}{2}\) และ a = 1 การเขียนลำดับจะเหมือนกับการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมสีม่วง ซึ่งเป็นเนื้อหาที่ว่ากันในวิชาเรขาคณิต
By en:User:Jim.belk (original); Pbroks13 (talk) (redraw) - en:Image:GeometricSquares.png, Public Domain, Link
Sum of Geometric Sequence (finite terms)
อยู่ในรูป
\( S_n = a r^0 + a r^1 + a r^2 + a r^3+ a r^4+...+ a r^{n-1} \)
หรือ
\( S_n = a [ 1 + r + r^2 + r^3+ r^4+...+r^{n-1}] \)
เราอาจเขียนใหม่ในรูปแบบ
\( S_n = a[r^{n-1}+r^{n-2}+r^{n-3}+r^{n-4}+...r+1] \)
เพื่อจะหาค่าของ \( S_n\) ขอให้พิจารณาผลลัพธ์ของ \( \frac{x^n -1}{x-1}\) โดยอ้างอิง Polynomial Remainder Theorem [1] จะได้ว่า
\( \frac{x^n-1}{x-1} = x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+x^{n-4}+...+x+1 \)
หากเราแทน x ด้วย r เราก็จะสามารถหาค่าของ \( S_n\) ได้
\( S_n = a \frac{r^n-1}{r-1} \longrightarrow (2)\)
\( \sum_{k=0}^{n} ar^k = a \frac{r^n-1}{r-1} \longrightarrow (3) \)
เอกสารอ้างอิง
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_remainder_theorem
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น