Geometric Sequence

พิจารณาลำดับ (sequence) ของตัวเลขนี้

$1,2,4,8,16,32,64,128,....$

สามารถเขียนใหม่เป็น
$1\times 2^0,1\times 2^1,1\times 2^2,1\times 2^3,1\times 2^4,,1\times 2^5,1\times 2^6,1\times 2^7,...$

แต่ละ term ประกอบด้วยสองส่วน คือ ส่วนค่าคงที่ (ในที่นี้คือ 1 ) และส่วนที่เป็นตัวคูณ ซึ่งจะมีการเพิ่มค่าขึ้นไปเรื่อยๆ (ในที่นี้คือ $2^n$, n คือตำแหน่งในลำดับอของ term นั้น )

เราสามารถเขียนรูปแบบทั่วไป (general form) ของลำดับ ณ ตำแหน่งใดๆ คือ

 $X_n=a{r}^{n-1}⟶(1)$ 

 เมื่อ
a คือค่าคงที่
r คือตัวคูณ
n คือเลขแทนตำแหน่ง
และลำดับแบบนี้เรียกว่า geometric sequence หรืออนุกรมเรขาคณิต

ยกตัวอย่าง

10, 30, 90, 270,810,...

เขียนในรูปแบบ general form คือ
$10\times 3^0,10\times 3^1,10\times 3^2,10\times 3^3,,10\times 3^4,...$

ทำไมถึงเรียกว่า Geometric sequence ลองพิจารณาดูว่า ถ้ากำหนดให้  $r=\frac{1}{2}$ และ a = 1 การเขียนลำดับจะเหมือนกับการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมสีม่วง ซึ่งเป็นเนื้อหาที่ว่ากันในวิชาเรขาคณิต


By en:User:Jim.belk (original); Pbroks13 (talk) (redraw) - en:Image:GeometricSquares.png, Public Domain, Link


Sum of Geometric Sequence (finite terms)

อยู่ในรูป

$S_n=a{r}^0+a{r}^1+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+...+a{r}^{n-1}$

หรือ

$S_n=a[1+r+r^2+r^3+r^4+...+r^{n-1}]$

เราอาจเขียนใหม่ในรูปแบบ

$S_n=a[r^{n-1}+r^{n-2}+r^{n-3}+r^{n-4}+...r+1]$

เพื่อจะหาค่าของ $S_n$ ขอให้พิจารณาผลลัพธ์ของ $\frac{x^n-1}{x-1}$  โดยอ้างอิง Polynomial Remainder Theorem [1]  จะได้ว่า

$\frac{x^n-1}{x-1}=x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+x^{n-4}+...+x+1$

หากเราแทน x ด้วย r เราก็จะสามารถหาค่าของ $S_n$ ได้

$S_n=a\frac{r^n-1}{r-1}⟶(2)$

$\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=a\frac{r^n-1}{r-1}⟶(3)$

เอกสารอ้างอิง
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_remainder_theorem