Probability : Conditional probability

 

โยน 1 ลูก เซตของหน้าลูกเต๋าที่หงายขึ้น Sample space คือ 

$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$

ถ้ากำหนดให้ A แทนเหตุการณ์ของหน้าลูกเต๋าที่หงายขึ้นเป็นเลขคี่ จะได้

$$\begin{array}{rl}A& =\{1,3,5\}\\ P(A)& =\frac{\mid A\mid }{\mid S\mid }\\ \therefore P(A)& =\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\end{array}$$

และกำหนด B แทนเหตุการณ์ที่หน้าลูกเต๋าที่หงายมีค่าน้อยกว่า 4 จะได้

$$\begin{array}{rl}B& =\{1,2,3\}\\ P(B)& =\frac{\mid B\mid }{\mid S\mid }\\ \therefore P(B)& =\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\end{array}$$

ถ้าเราสนใจหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นเงื่อนไขต่อกัน เช่น สนใจเหตุการณ์ที่หน้าลูกเต๋าหงายเป็นเลขคี่และเหตุการณ์ที่หน้าลูกเต๋ามีค่าน้อยกว่า 4 ในการคำนวณ เราต้องการตีกรอบเหตุการณ์ให้แคบลงมาเหลือเฉพาะที่เป็นเลขคี่ก่อน คือ $1,3,5$ แล้วมองหาจำนวนเหตุการณ์ที่สองคือเลขคี่ที่น้อยกว่า 4   ถ้าให้ C แทนเหตุการณ์ที่ระบุด้วยเงื่อนไขนี้ 

$$C=A\cap B=\{1,3\}$$

และเนื่องจากเราจำกัดวงของเหตุการณ์ให้แคบลงเหลือแค่ในขอบเขตของเหตุการณ์ B ดังนั้นในการหาค่าความน่าจะเป็นของ C จึงต้องใช้ sample space ที่เป็น B แทนที่ S

รูปที่ 1

$$\begin{array}{rl}P(C)& =\frac{\mid C\mid }{\mid B\mid }\\ P(C)& =\frac{\mid A\cap B\mid }{\mid B\mid }\\ P(C)& =\frac{2}{3}\end{array}$$

เราเรียกเหตุการณ์ $P(C)$ นี้ว่าเป็นค่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (conditional probability of A given B) เขียนแทนด้วย $P(A\mid B)$

$$\begin{array}{rl}P(A\mid B)& =\frac{\mid A\cap B\mid }{\mid B\mid }\\ P(A\mid B)& =\frac{\frac{\mid A\cap B\mid }{\mid S\mid }}{\frac{\mid B\mid }{\mid S\mid }}\\ P(A\mid B)& =\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\end{array}$$

นำไปสู่ข้อสรุปที่ว่า
"If A and B are events in same sample space, then conditional probability of A given B is defined as"

$$\begin{array}{}\text{(1.0)}& \boxed{{\displaystyle P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}}}\end{array}$$

กรณีพิเศษ

1. ถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน (disjoint) $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ จะได้

$$\begin{array}{rl}P(A\mid B)& =\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\\ P(A\mid B)& =\frac{P(\mathrm{\varnothing })}{P(B)}\\ P(A\mid B)& =\frac{0}{P(B)}\\ \therefore P(A\mid B)& =0\end{array}$$

2. ถ้า A อยู่ใน B ( $A\subset B$ )

$$\begin{array}{rl}P(A\mid B)& =\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\\ \therefore P(A\mid B)& =\frac{P(A)}{P(B)}\end{array}$$

3. ถ้า B อยู่ใน A ( $B\subset A$ )

$$\begin{array}{rl}P(A\mid B)& =\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\\ P(A\mid B)& =\frac{P(B)}{P(B)}\\ \therefore P(A\mid B)& =1.0\end{array}$$

ตัวอย่าง ในการสำรวจลูกค้าที่ซื้อรถยนต์ของบริษัท A ไปจำนวน 100 ราย พบว่า มี 40 รายที่ซื้ออุปกรณ์เสริมเป็นระบบสัญญาณกันขโมยอย่างเดียว มี 30 รายที่ซื้อ car seat สำหรับเด็กอย่างเดียว และมี 20 รายที่ซื้อทั้งสองรายการ ที่เหลือไม่ได้ซื้ออุปกรณ์ใด ถ้าสุ่มเลือกลูกค้ากลุ่มนี้มา 1 รายจากกลุ่มที่ได้ซื้อระบบสัญญาณกันขโมยไป probability ที่ลูกค้ารายนี้จะเป็นลูกค้าที่ซื้อ car seat ไปด้วยมีค่าเท่าใด

ให้ X แทนเหตุการณ์ที่ลูกค้าซื้ออุปกรณ์เสริมเป็นระบบสัญญาณกันขโมยอย่างเดียว

ให้ Y แทนเหตุการณ์ที่ลูกค้าซื้ออุปกรณ์เสริมเป็น car seat อย่างเดียว

การเลือกลูกค้า 1 แบบสุ่มจากกลุ่มลูกค้าที่ได้ซื้อระบบสัญญาณกันขโมยไป เงื่อนไขนี้ทำให้เราตีกรอบให้มองไปในพื้นที่ลูกค้าที่อยู่ในกลุ่ม X เท่าน้น แล้วมองดูว่าลูกค้ากลุ่มนี้มีจำนวนเท่าใดที่ได้ซื้อ car seat ไปด้วย หรือ โจทย์ได้ถามหา $P(Y\mid X)$

จากกำหนดมา

$$\begin{array}{rl}P(X)& =\frac{40}{100}=0.4\\ \\ P(X\cap Y)& =0.2\\ \end{array}$$

จาก (1.0)

$$\begin{array}{rl}P(Y\mid X)& =\frac{P(X\cap Y)}{P(X)}\\ \\ P(Y\mid X)& =\frac{0.2}{0.4}\\ \\ P(Y\mid X)& =0.5\\ \end{array}$$

ขอให้สังเกตุว่ามีความต่างกันหากโจทย์ถามว่า "เลือกลูกค้าแบบสุ่มมา 1 คน โอกาสที่ที่ลูกค้ารายนี้จะเป็นลูกค้าที่ซื้อทั้งสองรายการเป็นเท่าใด" คำตอบควรเป็น 0.2 ที่ต่างคือโจทย์ได้กำหนดเหตุการณ์ที่เป็นเงื่อนไขขึ้นมาก่อนแล้วจึงถามหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ซ้อนเข้าไป

ตัวอย่าง ครอบครัวที่มีบุตร 2 คน Sample space ของเพศของบุตรทั้งสองคือ $$\mathrm{\S }=\{(ชาย,ชาย),(ชาย,หญิง),(หญิง,หญิง),(หญิง,ชาย)\}$$ คำนวณหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

1. เลือกครอบครัวจากกลุ่มที่มีบุตรคนแรกเป็นหญิง ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวนั้นจะมีบุตรคนที่สองเป็นหญิง

2. เลือกครอบครัวจากกลุ่มที่มีบุตรเป็นหญิงอย่างน้อย 1 คน ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวนั้นจะมีบุตรคนที่สองเป็นหญิง

ให้ A แทน เหตุการณ์ลูกคนแรกเป็นหญิง $P(A)=\frac{1}{2}$

ให้ B แทน เหตุการณ์ลูกคนที่สองเป็นหญิง $P(B)=\frac{1}{2}$

ได้ $B\cup A$ คือเหตุการณ์ที่ลูกทั้งสองคนเป็นหญิง $P(A\cup B)=\frac{1}{4}$

จะได้ $B\mid A$ คือเหตุการณ์ที่ลูกคนที่สองเป็นหญิง เมื่อทราบแล้วว่าลูกคนแรกเป็นหญิง

ข้อ 1. $$\begin{array}{rl}P(B\mid A)& =\frac{P(B\cap A)}{P(A)}\\ P(B\mid A)& =\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}\\ \therefore P(B\mid A)& =\frac{1}{2}\end{array}$$

ข้อ 2 .

ให้ A แทนเหตุการณ์ลูกอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นหญิง, $P(A)=\frac{3}{4}$

ให้ B แทนเหตุการณ์ลูกคนที่สองเป็นหญิง $P(B)=\frac{1}{2}$

ได้ $B\cup A$ คือเหตุการณ์ที่ลูกทั้งสองคนเป็นหญิง $P(A\cup B)=\frac{1}{4}$

จะได้ $B\mid A$ ลูกคนที่สองเป็นหญิง เมื่อทราบแล้วว่ามีลูกหญิงแล้วอย่างน้อย 1 คน

$$\begin{array}{rl}P(B\mid A)& =\frac{P(B\cap A)}{P(A)}\\ P(B\mid A)& =\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}\\ \therefore P(B\mid A)& =\frac{1}{3}\end{array}$$

Chain rule for conditional probability

$$\begin{array}{rl}P(A\mid B)& =\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\\ \\ \text{(2.1)}& P(A\cap B)& =P(A\mid B)P(B)\end{array}$$

และ

$$\begin{array}{rl}P(B\mid A)& =\frac{P(B\cap A)}{P(A)}\\ \\ \text{(2.2)}& P(B\cap A)& =P(B\mid A)P(A)\end{array}$$

เนื่องจาก $P(A\cap B)=P(B\cap A)$ ดังนั้น

$$\begin{array}{}\text{(2.3)}& \boxed{{\displaystyle P(A\cap B)=P(B\mid A)P(A)=P(A\mid B)P(B)}}\end{array}$$

รูปที่ 1 พื้นที่ที่ใช้แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A\cap B$

ลองเพิ่มจำนวนเหตุการณ์เข้าเป็นสามเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกันแบบมีเงื่อนไข  $P(A\cap B\cap C)=?$

 รูปที่ 2

พิจารณารวมเหตุการณ์จาก 3 เหลือ 2 เหตุการณ์โดยการรวมกลุ่ม

$$\begin{array}{rl}P(A\cap B\cap C)& =P(A\cap (B\cap C))\\ \text{(2.4)}& P(A\cap B\cap C)& =P(A)\cdot P(B\cap C\mid A)\end{array}$$

พิจารณาดูว่า $P(B\cap C)\mid A)$ หาได้อย่างไร ?

รูปที่ 3

ดูรูปที่ 3 $P(B\cap C)$ คือพื้นที่ในวงสีแดง ดังนั้น $P(B\cap C)\mid A)$ จึงตีความได้ว่า คือพื้นที่ของเหตุการณ์ $B\cap C$ ภายใต้เงื่อนไขที่ต้องมีเหตุการณ์ A เกิดขึ้นมาก่อน เขียนแทนด้วย $P(B\cap C\mid A)$

และเราทราบว่า

$$\begin{array}{rl}P(B\cap C)& =P(B)\cdot P(C\mid B)\\ \text{(2.5)}& P(B\cap C\mid A)& =P(B\mid A)\cdot P(C\mid A,B)\end{array}$$

นำค่าจาก $(2.5)$ ไปแทนใน $(2.4)$จะได้

$$\begin{array}{rl}P(A\cap B\cap C)& =P(A)\cdot P(B\cap C\mid A)\\ \text{(2.6)}& P(A\cap B\cap C)& =P(A)\cdot P(B\mid A)\cdot P(C\mid A,B)\end{array}$$

พิจารณา $(2.6)$ (อาจดูยากสักหน่อย แต่ลองพยายามดู) ถ้าหากเพิ่มจำนวนเหตุการณ์ D เป็นเหตุการณ์ที่ 4 เข้าไป สมการที่ได้ก็ควรจะเป็น

$$\begin{array}{rl}P(A\cap B\cap C\cap D)& =P(A)\cdot P(B\mid A)\cdot P(C\mid A,B)\cdot P(D\mid A,B,C)\end{array}$$

ถ้าหากเพิ่มจำนวนเหตุการณ์ E เป็นเหตุการณ์ที่ 5 เข้าไป สมการที่ได้ก็ควรจะเป็น

$$\begin{array}{rl}P(A\cap B\cap C\cap D\cap E)& =P(A)\cdot P(B\mid A)\cdot P(C\mid A,B)\cdot P(D\mid A,B,C)\cdot P(E\mid A,B,C,D)\end{array}$$

นำไปสู่ข้อสรุปรูปแบบสมการทั่วไปดังนี้

$$\begin{array}{}\text{(2.7)}& P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap \cdots \cap A_n)=P(A_1)\cdot P(A_2\mid A_1)\cdot P(A_3\mid A_1,A_2)\cdots P(A_n\mid A_1,A_2,A_3,...,A_{n-1})\end{array}$$

เรียกสมการ $(2.7)$ ว่าเป็น Chain rule for conditional probability

ตัวอย่าง สมมุติว่ามีการระบาดของโรคร้ายชนิดหนึ่ง จากการสำรวจทำให้ทราบว่า ผู้ติดเชื้อโรคนี้จะมีอาการรุนแรง 5 % ถ้าทำการเลือกผู้ติดเชื้อแบบสุ่มทีละคนจำนวน 3 คนจากผู้ติดเชื้อ 100 คน หนึ่งเพื่อตรวจสอบ ความน่าจะเป็นในการที่จะเลือกได้ผู้ติดเชื้อมีอาการทั้งสามคนคือเท่าใด

กำหนดให้ $A_1$ แทนเหตุการณ์ผู้ติดเชื้อรายแรกเป็นผู้ป่วยมีอาการรุนแรง
กำหนดให้ $A_2$ แทนเหตุการณ์ผู้ติดเชื้อรายที่สองเป็นผู้ป่วยมีอาการรุนแรง
กำหนดให้ $A_3$ แทนเหตุการณ์ผู้ติดเชื้อรายที่สามเป็นผู้ป่วยมีอาการรุนแรง

จะได้ว่า $P(A_1)$ คือความน่าจะเป็นที่ผู้ติดเชื้อรายแรกเป็นผู้ป่วยมีอาการรุนแรง
$P(A_2\mid A_1)$ คือความน่าจะเป็นที่ผู้ติดเชื้อรายที่สองเป็นผู้ป่วยมีอาการรุนแรงเมื่อที่ผู้ติดเชื้อรายแรกเป็นผู้ป่วยมีอาการรุนแรง
และ $P(A_3\mid A_1,A_2)$ คือความน่าจะเป็นที่ผู้ติดเชื้อรายที่สามเป็นผู้ป่วยมีอาการรุนแรงเมื่อที่ผู้ติดเชื้อรายแรกและรายที่สองเป็นผู้ป่วยมีอาการรุนแรง
สิ่งที่ต้องการหาคือ $P(A_1\cap A_2\cap A_3$ = ?

จากกำหนดให้ผู้ติดเชื้อ 100 คนประกอบด้วยสองส่วนคือ 5 คนมีอาการรุนแรงและ 95 คนมีอาการไม่รุนแรง

การที่จะเลือกผู้ติดเชื้อรายแรกแล้วจะได้เป็นผู้ติดเชื้อที่มีอาการรุนแรง จะต้องได้มาจากส่วนที่เป็น 5 คน จากผู้ติดเชื้อทั้งหมด 100 คน เท่านั้น นั่นคือ

$$\begin{array}{}\text{(3.1)}& \therefore P(A_1)=\frac{5}{100}\end{array}$$

หลังจากเลือกผู้ติดเชื้อรายแรกไปแล้ว จะเหลือผู้ติดเชื้อทั้งหมด 99 คน และการที่จะเลือกคนที่สองแล้วได้ผู้ติดเชื้อที่มีอาการรุนแรง จะต้องเลือกมาจากส่วนที่ผู้ติดเชื้อมีอาการรุนแรง ซึ่งตอนนี้จะเหลือให้ 4 ราย นั่นคือ

$$\begin{array}{}\text{(3.2)}& \therefore P(A_2\mid A_1)=\frac{4}{99}\end{array}$$

ทำนองเดียวกัน หลังจากเลือกผู้ติดเชื้อสองไปแล้วจะเหลือผู้ติดเชื้อทั้งหมด 98 คน และการที่จะได้ผู้ติดเชื้อรายที่สามเป็นผู้ติดเชื้อที่มีอาการรุนแรงอีกก็ต้องมาจากส่วนที่เป็นผู้ติดเชื้ออาการรุนแรงอีก ซึ่งตอนนี้จะเหลือ 3 คน นั่นคือ

$$\begin{array}{}\text{(3.3)}& \therefore P(A_2\mid A_1,A_2)=\frac{3}{98}\end{array}$$

จาก $(2.7)$,

$$\begin{array}{rl}P(A_1\cap A_2\cap A_3)& =P(A_1)\cdot P(A_2\mid A_1)\cdot P(A_3\mid A_1,A_2)\end{array}$$

แทนค่าที่ได้จาก (3.1),(3.2),(3.3)

$$\begin{array}{rl}P(A_1\cap A_2\cap A_3)& =\frac{5}{100}\times \frac{4}{99}\times \frac{3}{98}\\ \therefore P(A_1\cap A_2\cap A_3)& =\frac{1}{16170}\end{array}$$