Probability : Law of total probability

 

ในบางครั้ง การหาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เรายังมีข้อมูลไม่มากพออาจต้องใช้สิ่งที่เราทราบอยู่แล้วมาใช้ประโยชน์ได้ พิจารณาตัวอย่างข้อมูลผู้ติดเชื้อ Covid 19 [1] ในประเทศสหรัฐอเมริกาเผยแพร่โดย Central Disease Control and Prevention ปรับปรุงเมื่อ 6 กันยายน พ.ศ. 2563 [2] ถ้ายกข้อมูลผู้ติดเชื้อแยกตามเพศและจำนวนผู้เสียชิวิตมาคำนวณหาความน่าจะเป็น จะได้แผนภาพตามรูปที่ 1

รูปที่ 1

จากรูปที่ 1 ทำให้เราทราบว่า จากจำนวนผู้ติดเชื้อทั้งหมด (พิจารณาเฉพาะผู้ติดเชื้อเท่านั้น) 

1.  ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยจะเป็นเพศชาย (Male) คือ 0.48   ความน่าจะเป็นที่จะเป็นเพศหญิง (Female)  คือ  0.52 

2.  หากเลือกผู้ป่วยที่เป็นเพศหญิงมาหนึ่งรายแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยรายนั้นจะเสียชีวิตคือ 0.027

3. หากเลือกผู้ป่วยเพศชายมาหนึ่งคนแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยรายนั้นจะเป็นผู้เสียชีวิตคือ 0.034

$$\begin{array}{rl}P(\text{sex=female})& =0.52\\ P(\text{sex=male})& =0.48\\ P(\text{dead=yes}\mid \text{sex=female})& =0.027\\ P(\text{dead=yes}\mid \text{sex=male})& =0.034\\ P(\text{dead=no}\mid \text{sex=female})& =0.973\\ P(\text{dead=no}\mid \text{sex=male})& =0.966\end{array}$$

จากข้อมูลเหล่านี้ จะคำนวณหาค่าความน่าจะเป็นการเสียชีวิตจากการติดเชื้อ Covide-19ได้อย่างไร  $P(\text{dead = yes})=?$

แผนภาพ Venn ตามรูปที่ 2 ช่วยให้เห็นภาพชัดขึ้นว่าสิ่งที่เราต้องการหาคือพื้นที่ส่วนที่น้ำเงิน ซึ่งเกิดการรวมตัวของพื้นที่สองส่วนคือ $Dead\cap Male$ และ $Dead\cap Female$

รูปที่ 2

$$\begin{array}{rl}P(dead)& =P(dead\cap male)+P(dead\cap female)\\ P(dead)& =P(\text{dead=yes}\mid \text{sex=male})\times P(sex=male)+P(\text{dead=yes}\mid \text{sex=female})\times P(sex=female)\\ P(dead)& =0.034\times 0.48+0.027\times 0.52=0.030\end{array}$$

จากตัวอย่างนี้เป็นตัวอย่างการคำนวณค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยหลักการของ Law of total probability ซึ่งสรุปไว้ว่า

$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A\cap B_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A\mid B_i)P(B_i)$$

เอกสารอ้างอิง

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/COVID-19_pandemic

[2] https://covid.cdc.gov/covid-data-tracker/#demographics