Probability : Law of total probability

 

ในบางครั้ง การหาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เรายังมีข้อมูลไม่มากพออาจต้องใช้สิ่งที่เราทราบอยู่แล้วมาใช้ประโยชน์ได้ พิจารณาตัวอย่างข้อมูลผู้ติดเชื้อ Covid 19 [1] ในประเทศสหรัฐอเมริกาเผยแพร่โดย Central Disease Control and Prevention ปรับปรุงเมื่อ 6 กันยายน พ.ศ. 2563 [2] ถ้ายกข้อมูลผู้ติดเชื้อแยกตามเพศและจำนวนผู้เสียชิวิตมาคำนวณหาความน่าจะเป็น จะได้แผนภาพตามรูปที่ 1

รูปที่ 1



จากรูปที่ 1 ทำให้เราทราบว่า จากจำนวนผู้ติดเชื้อทั้งหมด (พิจารณาเฉพาะผู้ติดเชื้อเท่านั้น) 

1.  ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยจะเป็นเพศชาย (Male) คือ 0.48   ความน่าจะเป็นที่จะเป็นเพศหญิง (Female)  คือ  0.52 

2.  หากเลือกผู้ป่วยที่เป็นเพศหญิงมาหนึ่งรายแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยรายนั้นจะเสียชีวิตคือ 0.027

3. หากเลือกผู้ป่วยเพศชายมาหนึ่งคนแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยรายนั้นจะเป็นผู้เสียชีวิตคือ 0.034

\[ \begin{align*} P(\text{sex=female}) &= 0.52 \\ P(\text{sex=male}) &= 0.48 \\ P(\text{dead=yes} \mid \text{sex=female}) &= 0.027 \\ P(\text{dead=yes} \mid \text{sex=male}) &= 0.034 \\ P(\text{dead=no} \mid \text{sex=female}) &= 0.973 \\ P(\text{dead=no} \mid \text{sex=male}) &= 0.966 \\ \end{align*} \]

จากข้อมูลเหล่านี้ จะคำนวณหาค่าความน่าจะเป็นการเสียชีวิตจากการติดเชื้อ Covide-19ได้อย่างไร  \( P(\text{dead = yes}) = ? \)

แผนภาพ Venn ตามรูปที่ 2 ช่วยให้เห็นภาพชัดขึ้นว่าสิ่งที่เราต้องการหาคือพื้นที่ส่วนที่น้ำเงิน ซึ่งเกิดการรวมตัวของพื้นที่สองส่วนคือ \( Dead \cap Male \) และ \( Dead \cap Female \)

รูปที่ 2



\[ \begin{align*} P(dead) &= P(dead \cap male) + P(dead \cap female) \\ P(dead) &= P(\text{dead=yes} \mid \text{sex=male})\times P(sex=male) + P(\text{dead=yes} \mid \text{sex=female}) \times P(sex=female)\\ P(dead) &= 0.034 \times 0.48 + 0.027 \times 0.52 = 0.030\\ \end{align*} \]

จากตัวอย่างนี้เป็นตัวอย่างการคำนวณค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยหลักการของ Law of total probability ซึ่งสรุปไว้ว่า
\[ P(A) = \sum_{i=1}^{n}{P(A \cap B_i)} = \sum_{i=1}^{n}{P(A \mid B_i)P(B_i)} \]

ความคิดเห็น

แสดงความคิดเห็น