Basic Linear Algebra : Matrices

หัวข้อ


ความหมาย

 Matrix (Matrices พหูพจน์) คือ collection of vector หรือกลุ่มของ vector  (vector คือ matrix รูปแบบหนึ่ง) 

รูปที่ 1 Matrix คือการรวมของ vector ในแนวตั้ง (column vector) หรือตามแนวนอน (row vector)


matrix มี 2 มิติ คือ row กับ column (two dimension array of scalars) เขียนแทน matrix ด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2}& a_{m3}& \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \]

เรียกว่า matrix A มีขนาด \(m \times n\) (rows x columns) \( A \in \Re^{m \times n}\)

สมาชิก \(a_{ij} \) ของ A หมายถึง สมาชิกที่อยู่ใน row ที่ i column ที่ j

[Top]

Matrix ที่มีลักษณะพิเศษ

1. Square matrix คือ matrix ที่มีจำนวน row เท่ากับจำนวน column

2. Regular matrix คือ matrix ที่จำนวน row ไม่เท่ากับจำนวน column

3. Diagonal matrix คือ square matrix ที่ element เป็นศูนย์ทั้งหมดยกเว้น element ในแนวเส้นทะแยงมุม เช่น \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3& 0 \\ 0 & 0 &4 \end{bmatrix}\)

4.  Upper triangular matrix คือ square matrix ที่ element ที่อยู่เหนือเส้นทะแยงมุมไม่เป็น 0 นอกนั้นเป็น 0 \( A = [a_{i,j}] , a_{i,j} = 0 \text{ for } i > j \) เช่น \( A = \begin{bmatrix} 1&2&3 \\0 &4&5\\0 & 0 &6 \end{bmatrix}\)

5. Lower triangular matrix คือ square matrix ที่ element ที่อยู่ใต้เส้นทะแยงมุมไม่เป็น 0 นอกนั้นเป็น 0 \( A = [a_{i,j}] , a_{i,j} = 0 \text{ for } i < j \) เช่น \( A = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\2 &3&0\\4 &5 &6 \end{bmatrix}\)

6.  Symmetry matrix คือ matrix ที่เป็นตัวเดียวกับ transpose \( A = A^T\)  เช่น \( A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 &3&4\\ 1 &4 & 3\end{bmatrix}\)

7. Identity matrix คือ square matrix ที่มีทุก element เป็น 0 ยกเว้น element ในแนวเส้นทะแยงมุม เขียนแทนด้วย \( I_n \) เมื่อ n คือจำนวน row หรือ column เช่น  \[ \begin{align*} I_3 &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \\ I_4 &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align*} \]

8. Zero matrix (Null matrix) คือ matrix  ที่ทุก element เป็น 0

9. Transposed matrix ถ้า A เป็น \(m \times n\) matrix แล้ว transpose matrix ของ A เขียนแทนด้วย \( A^T\) จะเป็น \(n \times m\) matrix  โดยที่ \( A_{ij} = A^T_{ji}\) เช่น  \[ \begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 9 & 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \\\\ \therefore A^T &= \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 9 \\ 3 & 1 \\2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \end{align*} \]

matrix ยังมีรูปแบบมากกว่าที่กล่าวมา แต่จะไม่กล่าวถึง 
[Top] 

Basic matrix operations

1. Matrix addition

การรวมหรือการบวกจะทำแบบ element by element หรือ element-wise operation ดังนั้น matrices ที่นำมารวมกันได้ต้องมี dimension เดียวกัน (มี row เท่ากัน และ column เท่ากัน) 

\[ \begin{align*} A &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2}& a_{m3}& \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \\\\ B &= \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}& b_{13}& \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22}& b_{23}& \cdots & b_{2n} \\ b_{31} & b_{32}& b_{33}& \cdots & b_{3n} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2}& b_{m3}& \cdots & b_{mn} \\ \end{bmatrix} \\\\ A + B &= \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12}& a_{13}+b_{13}& \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}& a_{23}+b_{23}& \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32}& a_{33}+b_{33}& \cdots & a_{3n}+b_{3n} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1}b_{m1} & a_{m2}+b_{m2}& a_{m3}+b_{m3}& \cdots & a_{mn} +b_{mn} \\ \end{bmatrix} \\ \end{align*} \]


เช่น \(A =\begin{bmatrix} 0&2\\1&4\end{bmatrix} \) และ \(B =\begin{bmatrix}3&2\\-3&2\end{bmatrix} \) จะได้ \[\begin{align*} A+B &= \begin{bmatrix}0+3&2+2\\1+(-3)& 4+2\end{bmatrix} \\ \\ &= \begin{bmatrix}3 & 4\\-2 & 6 \end{bmatrix} \end{align*} \]


2. Matrix-scalar multiplication

เป็น element-wise operation เช่นกัน นั่นคือทุก element ใน matrix จะถูกนำมาคูณกับ scalar เช่น \(\alpha = 2, A = \begin{bmatrix} 0&2\\1&4\end{bmatrix}\)

\[\begin{align*} \alpha \times A &= 2 \times \begin{bmatrix} 0&2\\1&4\end{bmatrix} \\ \\ &= \begin{bmatrix} 2 \times 0 & 2 \times 2 \\2 \times 1 & 2 \times 4 \end{bmatrix} \\\ &= \begin{bmatrix} 0 & 4\\ 2 & 8 \end{bmatrix} \\\ \end{align*} \]


3. Matrix - Matrix multiplication (dot product)

\[ \begin{align*} A^{m \times n} &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} , B^{n \times p} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}& b_{13}& \cdots & b_{1p} \\ b_{21} & b_{22}& b_{23}& \cdots & b_{2p} \\ b_{31} & b_{32}& b_{33}& \cdots & b_{3p} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & b_{n3}& \cdots & b_{np} \\ \end{bmatrix} \\\\ A^{m \times n} \cdot B^{n \times p} &= C^{m \times p} =\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & \cdots & c_{1p} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & \cdots & c_{2p} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} & \cdots & c_{3p} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & c_{m3} & \cdots & c_{mp} \\ \end{bmatrix} \end{align*} \]

เมื่อ \(c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \times b_kj \) โดยที่ i=1,2,3,...,m และ ่j = 1,2,3,...,p


ตัวอย่าง

\[\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 3 & 4 & 1\\ 5 & 6 & 1\\ \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \\ \\ A \cdot B &= \begin{bmatrix} (1 \times 1) + (2 \times 3) + (1 \times 7) & (1 \times 2) + (2 \times 4)+ (1 \times 8) \\ (3 \times 1) + (4 \times 3) + (1 \times 7) & (3 \times 2) + (4 \times 4)+ (1 \times 8) \\ (5 \times 1) + (6 \times 3) + (1 \times 7) & (5 \times 2) + (6 \times 4)+ (1 \times 8) \\ \end{bmatrix} \\ \\ A \cdot B &= \begin{bmatrix} 1 + 6 + 7 & 2 + 8+ 8 \\ 3 + 12 + 7 & 6 + 16+ 8 \\ 5 + 18 + 7 & 10 + 24+ 8 \\ \end{bmatrix} \\ \\ A \cdot B &= \begin{bmatrix} 14 & 18 \\ 22& 30\\ 30 & 42 \\ \end{bmatrix} \\ \\ \end{align*} \]

ข้อสังเกตุ

1. \( A \cdot B \) จะทำได้ก็ต่อเมื่อ จำนวน column ของ A เท่ากับจำนวน row ของ B

2. ผลลัพธ์คือ matrix ที่มีจำนวน row เท่ากับของ A จำนวน column เท่ากับของ B

คุณสมบัติของ dot production

1. \(( A \cdot B )\cdot C = A \cdot (B \cdot C )\)

2. \( \alpha (A \cdot B) = (\alpha A) \cdot B\)

3. \( A \cdot (B +C) = A \cdot B + A \cdot C\)

4. \((A\cdot B)^T = A^T \cdot B^T \) 

5. \( A \cdot B \) อาจไม่เท่ากับ \( B \cdot A \)

[Top]


Property of matrix arithmetic
เมื่อ A,B คือ \( n \times m \), 0 คือ zero matrix, k,l \( \in \Re \)
  1. \(kl)A = k(lA) \)
  2. \(k+l)A = kA +lA \)
  3. \(k(A+B) = kA +kB \)
  4. \(A+B = B +A \)
  5. \( (A+B)+C = A + (B + C) \)
  6. \( A + (-A) = 0 \)
  7. \(C(A+B) = CA + CB \)
  8. \( AI = IA = A\)
  9. \((kA)^T = kA^T \)
  10. \( (A^T)^T = A \)
  11. \((A+B)^T = A^T +B^T \)
  12. \((AB)^T = B^T A^T \)
[Top]

Inverse matrix 
ถ้า \(A,B \in \Re^{n \times n}\) แล้ว \( A \cdot B = B \cdot A = I_n \) แล้ว จะเรียกว่า B เป็น inverse matrix ของ A เขียนแทนด้วย \( A^{-1}\) เช่น \[\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 2&3\\ -1 & -3 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ \frac{-1}{3} & \frac{-2}{3} \end{bmatrix} \\ \\ A \cdot B &= \begin{bmatrix} 2 \times 1 + 3 \times \frac{-1}{3} & 2 \times 1 +3 \times \frac{-2}{3} \\ -1 \times 1 + -3 \times \frac{-1}{3} & -1 \times 1 + -3 \times \frac{-2}{3} \end{bmatrix}\\\\ A \cdot B &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I_2 \\\\ \therefore B = A^{-1} \end{align*} \]

matrix อาจไม่สามารถหา inverse ได้ matrix ที่ไม่มี inverse ได้เรียกว่า singular matrix  เป็น matrix ที่มี determinant เป็น 0 

การหา Inverse ของ matrix 2 x 2

 \( \vec{u} = \begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{1,2} \\ u_{2,1} & u_{2,2}\end{bmatrix}\) แล้ว inverse ของ \( \vec{u}\) หาได้จาก

1. หา determinant ของ \( \vec{u}\) จาก \( \|\vec{u}\| = u_{1,1} u_{2,2} - u_{2,1} u_{1,2} \)

2. สร้าง matrix ใหม่ขึ้นมาจากสมาชิกของ \( \vec{u} \) แต่มีการสลับตำแหน่งและเพิ่มเครื่องหมายลบ \( \begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{1,2} \\ u_{2,1} & u_{2,2} \end{bmatrix} \Longrightarrow \begin{bmatrix} u_{2,2} & -u_{1,2} \\ -u_{2,1} & u_{1,1} \end{bmatrix} \)

3. \( \vec{u}^{-1} \) คือ \(\frac{1}{\|\vec{u}\|} \begin{bmatrix} u_{2,2} & -u_{1,2} \\ -u_{2,1} & u_{1,1} \end{bmatrix} \)

ตัวอย่าง :  หา inverse ของ \( \begin{bmatrix} 4 &7\\2&6\end{bmatrix}\)

หา determinant ได้เป็น \( (4 \times 6) - (2 \times 7) =10\)

\[ \begin{bmatrix} 4 &7\\2&6\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 &-7\\-2&4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 &-0.7\\-0.2&0.4\end{bmatrix}\]

การหา inverse matrix ด้วย minors, cofactor และ adjoint matrix
determinant, minor, cofactor matrix และ adjugate matrix จะมีการกล่าวถึงต่อไป สรุปขั้นตอนการหา inverse matrix ด้วยวิธีการนี้คือ

1. หา determinant 
2. สร้าง matrix of minors
3. เปลี่ยน minor matrix เป็น matrix of cofactors
4. เปลี่ยน cofactor matrix เป็น adjoint matrix
5. คูณ \( \frac{1}{\text{determinant}}\) กับ adjoint matrix

ตัวอย่าง : หา inverse matrix ของ \( \begin{bmatrix} 3&0&2\\2&0&-1\\0&1&1\end{bmatrix}\)

หา determinant เป็น 10
สร้าง matrix of minors
\[ \begin{bmatrix} (0 \times 1) - (1 \times -2) & (2 \times 1) - (0 \times -2) & (2 \times 1) - (0 \times 0) \\ (0 \times 1) - (1 \times 2) & (3 \times 1) - (0 \times 2) & (3 \times 1) - (0 \times 0) \\ (0 \times -2) - (0 \times 2) & (3 \times -2) - (2 \times 2) & (3 \times 0) - (2 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2\\ -2 & 3 & 3\\ 0 & -10 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

เปลี่ยน matrix of minors ไปเป็น matrix of cofactors \[ \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \\ -2 & 3 & 3 \\ 0 & -10 & 0 \\ \end{bmatrix} \Longrightarrow \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -3 \\ 0 & 10 & 0 \end{bmatrix} \]
เปลี่ยน matrix of cofactors เป็น ajoint matrix \[ \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -3 \\ 0 & 10 & 0 \end{bmatrix} \Longrightarrow \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & 3 & 10 \\ 2 & -3 & 0 \end{bmatrix} \]
คูณด้วย adjoint matrix ด้วย \(\frac{1}{\text{determinant}} \) \[\therefore \begin{bmatrix} 3&0&2\\2&0&-1\\0&1&1\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & 3 & 10 \\ 2 & -3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.2 & 0.0 \\ -0.2 & 0.3 & 1.0 \\ 0.2 & -0.3 & 0.0 \end{bmatrix} \]

[Top]

Determinant [1]

Determinant เป็น scalar value ที่ได้มาจากนำเอาทุก elements (coefficients) ใน square matrix มาคำนวณ determinant ของ matrix A เขียนแทนด้วย \( \mid A \mid \) หรือ det(A)  โดย 

\[det : \Re^{m \times m} \rightarrow \Re \]

Determinant ของ vector ขนาด 2x2

ถ้ามี \( A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix} \) แล้ว จะได้

\[ det(A) = (a_1 \times a_4 ) - (a2 \times a_3) \tag{1}\]

เช่น  \[ \begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \\ det(A) &= (1 \times 1) - (2 \times 3) \\ det(A) &= 1 - 6 = -5 \end{align*} \]

หมายเหตุ ข้อสังเกตุคือ ค่าของ determinant ติดลบได้
จากตัวอย่างเราสามารถแยก matrix A ออกเป็น 2 column vector ได้ คือ \(\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \) หากนำมาวาดลงบน plane จะเห็นว่าสามารถสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจาก column vector ทั้งสองได้  (พื้นที่สีเทาในรูปที่ 1) เมื่อคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมดังกล่าว จะพบว่ามีค่าเท่ากับ det(A) (ไม่นับเครื่องหมาย) 

รูปที่ 1 determinant ของ 2 x 2 matrix


รูปที่ 2 determinant ของ 3 x 3 matrix 


Determinant ของ \(n \times n \) matrix 

วิธีการที่กล่าวถึงบ่อยคือ Laplace expansion หรือ cofactor expansion [2] โดยจะต้องทำความรู้จักกับ minor และ cofactor เสียก่อน 

 V เป็น \( n \times n \) matrix  ถ้าลบเอา element ออกไป 1 row และ 1 column จะได้ \( V^\prime \)  แล้ว เรียก \( det(V^\prime)\) ว่า minor ของ V เขียนแทนด้วย \( M_{i,j}\) เมื่อ i คือตำแหน่งของ row และ j คือตำแหน่งของ column ที่ถูกตัดออกไป 

รูปที่ 3 \( M_{1,1} = det(V^\prime) \)  

สำหรับ cofactor ของ V หาได้จาก

\[ C_{i,j} = (-1)^{i+i}M_{i,j} \tag{2} \]

ตามวิธีของ Laplace expansion ถ้า V คือ \( n \times n \) matrix แล้ว det(V) หาได้จาก

\[ det(V) = \sum_{j=1}^{n}C_{i,j} v_{i,j}M_{i,j},i=1,2,3,..,n \tag{3} \]

เมื่อ \( v_{i,j}\) คือ element ในตำแหน่ง row ที่ i, column ที่ j ในการหา determinant ด้วยวิธีนี้จะเลือกทำเพียง row เดียว 

ตัวอย่าง \( B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 &6 \\ 7& 8 & 9 \end{bmatrix}\) หาค่าของ det(B)

เลือก row=1 มาดำเนินการ จะได้ \[ v_{1,1} = 1, v_{1,2}=2 , v_{1,3}=3\]

ค่าของ \[ C_{1,1} = 1,C_{1,2} = -1,C_{1,3} = 1\]

หาค่า minor, \[ \begin{align*} M_{1,1} &= \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} \\ M_{1,1} &= (5 \times 9) - (8 \times 6) = -3 \\\\ M_{1,2} &= \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} \\ M_{1,2} &= (4 \times 9) - (7 \times 6) = -6 \\\\ M_{1,3} &= \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \\ M_{1,3} &= (4 \times 8) - (7 \times 5) = -3 \\ \end{align*} \]
\[ \begin{align*} det(B) &= \sum_{j=1}^{3}C_{i,j} v_{i,j}M_{i,j},i=1,2,3 \\ &= (1 \times 1 \times-3) + (-1 \times 2 \times -6) + (1 \times 3 \times -3) \\ &= -3 + 12 -9 \\ &= 0 \end{align*} \]

B เป็น matrix จัดเป็น singular matrix 

ในการหา determinant ของ matrix ที่มีขนาดใหญ่ขึ้นไป จะต้องคำนวณซ้ำๆกันหลายขั้นตอน ดังแสดงในรูปที่ 4 


รูปที่ 4

คุณสมบัติที่น่าสนใจของ determinant
1. ถ้ามี column ใดเป็น 0  ค่า determinant จะเป็น 0
2. ถ้ามี 2 column ที่เหมือนกัน ค่า determinant จะเป็น 0
3. การสลับที่ของ column ไม่มีผลต่อค่า determinant
4. \( det(A) = det(A^T)\)
5. \( det(AB) = det(A) det(B) \)
6. \( det(A^{-1} = \frac{1}{det(A)}\)
7. \( det(I) = 1\)

[Top]

Adjoint matrix [4]

ถ้า A เป็น square matrix และ C เป็น matrix ที่ element เป็น cofactor ของ A แล้ว จะได้ว่า \[ adj(A) = C^T \tag{4} \]

เมื่อ \( adj(A) \) คือ adjoint matrix ของ A และ \( C^T \)  คือ matrix transpose ของ C

ตัวอย่าง  กำหนดให้ \( A  = \begin{bmatrix} 3 &1&3\\ 2&3&1\\1&2&3\end{bmatrix}\)  จงหา adj(A)

คำนวณหา cofactor matrix ของ A คือ

\[ \begin{align*} C &= \begin{bmatrix} 7&-5&1\\3&6&-5\\-8&3&7\end{bmatrix} \\ \therefore  adj(A) &= \begin{bmatrix} 7&3&-8\\-5&6&3\\1&-5&7\end{bmatrix} \end{align*}\]

คุณสมบัติของ adj(A)
1. \(A (adj(A)) = (adj(A)) A = det(A) \)
2. \(A^{-1} = \frac{adj(A)}{det(A)} \)

[Top]

Matrix Norm [3]

Matrix norm เป็นคุณสมบัติหนึ่งของ matrix เช่นเดียวกับ determinant มีวิธีการคำนวณมากกว่า 1 วิธี ได้แก่

Frobenius norm :

\[ \| A\|_F = \sqrt{\sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}a^2_{ij}} \tag{5}\]


Max norm หรือ infinity norm คือค่าสูงสุดของผลรวมของ row vector :
\[ \| A\|_{max} = max_i(\sum^n_{j=1} \mid a_{ij} \mid) \tag{6}\]

จากสูตรคำนวณ matrix norm จะสังเกตุว่าค่าของ norm จะแปรผันตามค่าของ element ใน matrix  ซึ่งเราสามารถนำไปใช้ประโยชน์ในเชิงเปรียบเทียบของระบบสองระบบได้ เช่น สมมุติต้องการเปรียบเทียบระบบค่าใช้จ่ายรวมในการเดินทางไปกลับระหว่าง 3 เมือง A,B,C ใน 2 ระบบ ออกมาตามรูปที่ 5 การใช้ประยุกต์ใช้ matrix norm จะช่วยให้มองเห็นภาพรวมของค่าใช้จ่ายเทียบกันได้ 

รูปที่ 5


\[ \begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 0 & 5 & 1\\9 & 0 & 7\\2 & 3 & 0 \end{bmatrix} \\\\ B &= \begin{bmatrix} 0 & 4 &81\\7 & 0 & 8\\5 & 9 & 0 \end{bmatrix} \\\\ \| A\|_F &= 13.0 \\ \| B\|_F &= 17.3 \\ \end{align*} \] นั่นคือ ระบบ A มีค่าใช้จ่ายรวมน้อยกว่าระบบ B

[Top]

เอกสารอ้างอิง

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_expansion

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_norm

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix




ความคิดเห็น

แสดงความคิดเห็น