Basic Linear Algebra : Basis of Vector

นิยามที่เขียนไว้ใน Wiki :

"A basis B of a vector space V over a field F (such as the real numbers R or the complex numbers C) is a linearly independent subset of V that spans V."

ตีความได้ว่า ถ้ามี B = $\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3},...,\overrightarrow{v_n},\}$ จาก vector space V จะเรียก B ว่าเป็น basis ของ V ก็ต่อเมื่อพิสูจน์ได้ว่า 

1. V คือ span(B) และ 

2. B เป็น linearly independent

ยกตัวอย่าง ถ้า $B=\{\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}\}\in {\mathrm{\Re }}^3$ จะกล่าวว่า B เป็น basis ของ ${\mathrm{\Re }}^3$ ได้ หากสามารถระบุได้ว่า ถ้ามี $\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right]\in {\mathrm{\Re }}^3$ ใดๆ สามารถถูกเขียนด้วย $$\overrightarrow{v}=v_1\cdot \overrightarrow{e1}+v_2\cdot \overrightarrow{e2}+v_3\cdot \overrightarrow{e3}$$

นั่นคือ $\overrightarrow{v}$ เกิดจากระยะทางระหว่างจุด origin ไปตามทิศทางของ $\overrightarrow{e_1}$ ด้วยขนาดเท่ากับ $v_1$ ตามทิศทางของ $\overrightarrow{e_2}$ ด้วยขนาดเท่ากับ $v_2$ และ ตามทิศทางของ $\overrightarrow{e_3}$ ด้วยขนาดเท่ากับ $v_3$ 

ตัวอย่าง 1 :  B= $\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\}$ จงแสดงว่า B เป็น basis ของ ${\mathrm{\Re }}^3$ 

พิสูจน์ว่า ${\mathrm{\Re }}^3$ = span(B)  

เลือก $\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ จาก ${\mathrm{\Re }}^3$ มาเขียนในรูปแบบ

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

จะเห็นว่า ไม่ว่า x,y,z จะมีค่าเป็นเท่าใดก็สามารถนำมาเขียนในรูปของ span(B) ได้เสมอ สรุปว่า ${\mathrm{\Re }}^3$ = span(B)

พิสูจน์ว่า B เป็น linearly indenpendent

$$\begin{array}{rl}{a}_1\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+a_2\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]+a_3\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$

เป็นไปได้กรณีเดียวที่จะทำให้สมการนี้เป็นจริงคือ $a_1=0,a_2=0,a_3=0$ สรุปว่า B เป็น linearly independent

จากคุณสมบัติทั้งสอง ทำให้สรุปได้ว่า B = $\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\}$ คือ basis ของ ${\mathrm{\Re }}^3$

ในกรณีของ ${\mathrm{\Re }}^2$ ก็สามารถำพิสูจน์ได้ทำนองเดียวกับในตัวอย่าง 1 นั่นคือจะได้ว่า $\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\}$ คือ basis ของ ${\mathrm{\Re }}^2$

ในเอกสารบางแห่งจะแทน $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ ด้วย i,j ตามลำดับ ช่วยทำให้เขียนง่ายขึ้น เช่น $\left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right]$ เขียนในรูปของ basis คือ $5\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ หรือ 5i+3j

อีกตัวอย่างในระบบ ${\mathrm{\Re }}^3$ ที่เห็นกันบ่อยคือ color code ใน HTML เช่น รหัสสี #443322 ใน RGB color space หากเขียนในรูปแบบของ vector basis ก็คือ 44R +33G +22B ในที่นี้ R, G , B คือ basis vector ใน RGB color space นั่นเอง

Basis กับ Coordinate system

พิจารณาดู vector ที่เป็น basis ในระบบ $R^2,R^3$ จะเห็นว่า norm (length) จะมีค่าเท่ากับ 1 (unit vector) เมื่อนำมาเทียบตัวเลขกับระบบใน coordinate แล้วจะได้ตามที่แสดงในรูปที่ 1

รูปที่ 1 (a)  basis ในระบบ 2 มิติ , (b)  basis ในระบบ 3 มิติ

ถ้ามี $\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ แสดงในรูปแบบของ coordinate ได้ในรูปที่ 2

รูปที่ 2

Change Coordinate system

กล่าวโดยสรุปใน $R^n$ รูปแบบทั่วไปของ $\overrightarrow{v}$ ใดภายใต้ basis B คือ $$\begin{array}{rl}\overrightarrow{v}& =\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]\\ \\ \text{(1)}& \overrightarrow{v}& =v_1\cdot b_1+v_2\cdot b_2+v_3\cdot b_3+\cdots +v_n\cdot b_n\end{array}$$ เมื่อ $b_n$ คือ unit vector บนแกนอ้างอิงภายใต้ basis B เช่นในระบบมาตรฐาน $R^2$ $b_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],b_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

จาก (1) สามารถเขียนใหม่ได้ $$\begin{array}{rl}\overrightarrow{v}& =\left[\begin{array}{ccccc}{b}_1& b_2& b_3& \cdots & b_n\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]\\ \\ \text{(2)}& \overrightarrow{v}& =B\cdot V_B\end{array}$$ (2) เป็นการเขียนสมการให้อยู่ในรูปที่มองง่ายขึ้น ให้ B แทน matrix ที่มี column vectors คือ unit vector ใน basis B, $V_B$ แทน matrix ที่มี column vector เป็น vector ที่อยู่ใน coordinate ที่ใช้ basis B $$\begin{array}{rl}{B}^{-1}\cdot \overrightarrow{v}& =B^{-1}\cdot B\cdot V_B\\ B^{-1}\cdot \overrightarrow{v}& =V_B\\ V_B& =B^{-1}\cdot \overrightarrow{v}\end{array}$$ จะเห็นว่าเราสามารถคำนวณหา coordinate ของ vector ในระบบ coordinate ที่ใช้ basis อื่นได้ หากทราบเซตของ unit vector ที่เป็น basis ในระบบอื่นที่อิงจากระบบปัจจุบัน จากสมการที่ (3) เมื่อ ${\overrightarrow{v}}_B$ คือ vector ที่มี element เป็น coordinate ที่อิงกับ basis B

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\overrightarrow{v}}_B=B^{-1}\cdot \overrightarrow{v}\end{array}$$

ถ้ากำหนดให้ $\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$ ในระบบ coordinate ที่มี $b_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],b_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ ภาพที่ได้จะเป็นตามรูปที่ 3

รูปที่ 3

ถ้าในระบบ coordinate ใหม่ใช้ basis เป็น $\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\}$ จะได้ $$\begin{array}{rl}B& =\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\\ \\ \therefore B^{-1}& =\left[\begin{array}{cc}0.7& 0.7\\ -0.7& 0.7\end{array}\right]\\ \\ {\overrightarrow{v}}_B& =\left[\begin{array}{cc}0.71& 0.71\\ -0.71& 0.71\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]\\ \\ {\overrightarrow{v}}_B& =\left[\begin{array}{c}2.8\\ -1.4\end{array}\right]\end{array}$$ หมายเหตุ coordinate ของ ${\overrightarrow{v}}_B=\left[\begin{array}{c}2.8\\ -1.4\end{array}\right]$ คือ coordinate ในพิกัดที่อิงกับ basis ใหม่ แต่เมื่อนำมาวาดบนพิกัดที่ซ้อนกันทั้งสอง basis แล้ว $\overrightarrow{v}$ จะทับกับ ${\overrightarrow{v}}_B$ ดูรูปที่ 4

รูปที่ 4