นิยามที่เขียนไว้ใน Wiki :
"A basis B of a vector space V over a field F (such as the real numbers R or the complex numbers C) is a linearly independent subset of V that spans V."
ตีความได้ว่า ถ้ามี B = \( \{\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3},...,\vec{v_n}, \}\) จาก vector space V จะเรียก B ว่าเป็น basis ของ V ก็ต่อเมื่อพิสูจน์ได้ว่า
1. V คือ span(B) และ
2. B เป็น linearly independent
ยกตัวอย่าง ถ้า \(B = \{ \vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\} \in \Re^3 \) จะกล่าวว่า B เป็น basis ของ \( \Re^3\) ได้ หากสามารถระบุได้ว่า ถ้ามี \( \vec{v} = \begin{bmatrix}v_1 \\v_2\\v_3 \end{bmatrix} \in \Re^3\) ใดๆ สามารถถูกเขียนด้วย
\[ \vec{v} = v_1 \cdot \vec{e1} + v_2 \cdot \vec{e2} + v_3 \cdot \vec{e3}\]
นั่นคือ \(\vec{v}\) เกิดจากระยะทางระหว่างจุด origin ไปตามทิศทางของ \(\vec{e_1}\) ด้วยขนาดเท่ากับ \(v_1\) ตามทิศทางของ \(\vec{e_2}\) ด้วยขนาดเท่ากับ \(v_2\) และ ตามทิศทางของ \(\vec{e_3}\) ด้วยขนาดเท่ากับ \(v_3\)
ตัวอย่าง 1 : B= \( \{ \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix} \} \) จงแสดงว่า B เป็น basis ของ \(\Re^3 \)
พิสูจน์ว่า \( \Re^3 \) = span(B)
เลือก \( \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}\) จาก \(\Re^3 \) มาเขียนในรูปแบบ
\[ \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}+ y \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}+z\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix} \]
จะเห็นว่า ไม่ว่า x,y,z จะมีค่าเป็นเท่าใดก็สามารถนำมาเขียนในรูปของ span(B) ได้เสมอ สรุปว่า \( \Re^3 \) = span(B)
พิสูจน์ว่า B เป็น linearly indenpendent
\[ \begin{align*} a_1 \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}+ a_2 \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}+ a_3 \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix} \\ \end{align*} \]
เป็นไปได้กรณีเดียวที่จะทำให้สมการนี้เป็นจริงคือ \(a_1=0,a_2=0,a_3 = 0 \) สรุปว่า B เป็น linearly independent
จากคุณสมบัติทั้งสอง ทำให้สรุปได้ว่า B = \( \{ \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix} \} \) คือ basis ของ \( \Re^3\)
ในกรณีของ \( \Re^2 \) ก็สามารถำพิสูจน์ได้ทำนองเดียวกับในตัวอย่าง 1 นั่นคือจะได้ว่า \( \{ \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\} \) คือ basis ของ \( \Re^2 \)
ในเอกสารบางแห่งจะแทน \( \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix} \) ด้วย i,j ตามลำดับ ช่วยทำให้เขียนง่ายขึ้น เช่น \(\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix} \) เขียนในรูปของ basis คือ \(5 \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\) หรือ 5i+3j
อีกตัวอย่างในระบบ \( \Re^3\) ที่เห็นกันบ่อยคือ color code ใน HTML เช่น รหัสสี #443322 ใน RGB color space หากเขียนในรูปแบบของ vector basis ก็คือ 44R +33G +22B ในที่นี้ R, G , B คือ basis vector ใน RGB color space นั่นเอง
Basis กับ Coordinate system
พิจารณาดู vector ที่เป็น basis ในระบบ \(R^2,R^3 \) จะเห็นว่า norm (length) จะมีค่าเท่ากับ 1 (unit vector) เมื่อนำมาเทียบตัวเลขกับระบบใน coordinate แล้วจะได้ตามที่แสดงในรูปที่ 1
 |
| รูปที่ 1 (a) basis ในระบบ 2 มิติ , (b) basis ในระบบ 3 มิติ |
ถ้ามี \(\vec{v} = \begin{bmatrix}2\\3 \end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix}0\\1 \end{bmatrix}\) แสดงในรูปแบบของ coordinate ได้ในรูปที่ 2
 |
| รูปที่ 2 |
Change Coordinate system
กล่าวโดยสรุปใน \( R^n \) รูปแบบทั่วไปของ \( \vec{v} \) ใดภายใต้ basis B คือ
\[
\begin{align*}
\vec{v} &= \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\v_3 \\ \vdots \\v_n \end{bmatrix} \\\\
\vec{v} &= v_1 \cdot b_1 + v_2 \cdot b_2 + v_3 \cdot b_3 + \cdots + v_n \cdot b_n \tag{1} \\\\
\end{align*}
\]
เมื่อ \(b_n \) คือ unit vector บนแกนอ้างอิงภายใต้ basis B เช่นในระบบมาตรฐาน \(R^2\) \(b_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},b_2 = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} \)
จาก (1) สามารถเขียนใหม่ได้
\[
\begin{align*}
\vec{v} &= \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 & \cdots & b_n \end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \\\\
\vec{v} &= B \cdot V_B \tag{2} \\
\end{align*}
\]
(2) เป็นการเขียนสมการให้อยู่ในรูปที่มองง่ายขึ้น ให้ B แทน matrix ที่มี column vectors คือ unit vector ใน basis B, \( V_B \) แทน matrix ที่มี column vector เป็น vector ที่อยู่ใน coordinate ที่ใช้ basis B
\[
\begin{align*}
B^{-1} \cdot \vec{v} &= B^{-1} \cdot B \cdot V_B \\
B^{-1} \cdot \vec{v} &= V_B \\
V_B &= B^{-1} \cdot \vec{v}
\end{align*}
\]
จะเห็นว่าเราสามารถคำนวณหา coordinate ของ vector ในระบบ coordinate ที่ใช้ basis อื่นได้ หากทราบเซตของ unit vector ที่เป็น basis ในระบบอื่นที่อิงจากระบบปัจจุบัน จากสมการที่ (3) เมื่อ \( \vec{v}_B \) คือ vector ที่มี element เป็น coordinate ที่อิงกับ basis B
\[
\begin{align*}
\vec{v}_B = B^{-1} \cdot \vec{v} \tag{3}
\end{align*}
\]
ถ้ากำหนดให้ \(\vec{v} = \begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} \) ในระบบ coordinate ที่มี \( b_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},b_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\) ภาพที่ได้จะเป็นตามรูปที่ 3
 |
| รูปที่ 3 |
ถ้าในระบบ coordinate ใหม่ใช้ basis เป็น \(\{ \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \} \) จะได้
\[
\begin{align*}
B &= \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}\\\\
\therefore B^{-1} &= \begin{bmatrix}
0.7 & 0.7 \\
-0.7 & 0.7
\end{bmatrix}\\\\
\vec{v}_B &= \begin{bmatrix}
0.71 & 0.71 \\
-0.71 & 0.71
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} \\\\
\vec{v}_B &=\begin{bmatrix}2.8\\-1.4\end{bmatrix}
\end{align*}
\]
หมายเหตุ coordinate ของ \( \vec{v}_B =\begin{bmatrix}2.8\\-1.4\end{bmatrix} \) คือ coordinate ในพิกัดที่อิงกับ basis ใหม่ แต่เมื่อนำมาวาดบนพิกัดที่ซ้อนกันทั้งสอง basis แล้ว \(\vec{v} \) จะทับกับ \( \vec{v}_B \) ดูรูปที่ 4
 |
| รูปที่ 4 |
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น