มีการเขียนถึงความหมายของ eigenvector และ eigenvalue หลายแบบ แต่ในข้อเขียนนี้ขอเริ่มด้วยสมการเชิงเส้น
\[ A \cdot \vec{v} = \lambda \vec{v} \tag{1} \]
เมื่อ \( \vec{v} \in \Re^n \) และ \( \vec{v} \neq \vec{0} \) , \( A \in \Re^{n \times n}\) และ \( \lambda \) คือ scalar เรียก \( \vec{v} \) ว่า "eigenvector" และเรียก \( \lambda \) ว่า "eigenvalue"
พิจารณาโครงสร้างของสมการ (1) จะเห็นว่า A คือ linear transformation matrix ของ \( \vec{v} \) ผลคือการเปลี่ยนขนาด (scaling) แต่ไม่เปลี่ยนทิศทาง
 |
| รูปที่ 1 |
การคำนวณ
จาก (1) เขียนใหม่ได้เป็น \[ \begin{align*} A \cdot \vec{v} - \lambda \vec{v} &= \vec{0} \\\\ (A - \lambda I)\vec{v}&= \vec{0} \tag{2}\\\\ \end{align*} \] หมายเหตุ ต้องนำ \( I \) มาคูณกับ \( \lambda \) เพื่อให้ scalar เปลี่ยนรูปเป็น matrix
พิจารณาสมการ (2) ร่วมกับ (3) รวมกับเงื่อนไข \( \vec{v} \neq \vec{0} \) จึงสรุปได้ว่า \( A-\lambda I \) (ซึ่งเป็น matrix) จะต้องเป็น zero matrix เท่านั้น
\[ A-\lambda I = 0 \tag{3}\]
และ \( A-\lambda I \) ต้องเป็น singular matrix หรือเป็น matrix ที่มี determinant เป็น 0 ด้วยเหตุผลที่ว่า sigular matrix ไม่มี inverse และถ้าหาก \( A-\lambda I \) สามารถหา inverse ได้ ( หรือไม่ใช่ singular matrix ) ย่อมจะทำให้สมการนี้เป็นจริงได้
\[ \begin{align*} (A-\lambda I )\cdot \vec{v} &= \vec{0} \\\\ (A-\lambda I )^{-1}\cdot (A-\lambda I ) \cdot \vec{v} &= (A-\lambda I )^{-1} \cdot \vec{0} \\\\ I \vec{v} &= \vec{0} \\\\ \vec{v} &= \vec{0} \end{align*} \] ซึ่งจะขัดกับข้อแม้ที่วางไว้ จึงนำไปสู่ข้อสรุปว่าสมการที่ (2) เป็นจริงก็ต่อเมื่อ \[det(A-\lambda I ) = 0 = \rho(\lambda)\tag{4} \]
หมายเหตุ \(\rho(\lambda) = det(A-\lambda I ) \) เรียกว่า "characteristic equation" [4]
เพื่อจะหาค่าของ \( \lambda \) และ \( \vec{v} \) ง่ายขึ้น A จะต้องถูกกำหนดขึ้นก่อน เช่น \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \) จะได้ว่า
\[ \begin{align*} (A - \lambda I)\vec{v} &= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\\\ &= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} \\\\ &=\begin{bmatrix} 2 - \lambda& 2 \\ 3 & 1-\lambda \end{bmatrix} \\\\ \end{align*} \] หา determinant ของ \(\begin{bmatrix} 2 - \lambda& 3 \\ 2 & 1-\lambda \end{bmatrix} \) \[ \begin{align*} det \left(\begin{bmatrix} 2 - \lambda& 2 \\ 2 & 1-\lambda \end{bmatrix} \right) &= (2-\lambda) \times (1-\lambda) - (2 \times 3)\\\\ &= 2 - 2\lambda - \lambda + \lambda^2 - 6 \\\\ &= \lambda^2 -3\lambda -4 \\\\ \end{align*} \] กำหนดให้ \[ \begin{align*} \lambda^2 -3\lambda -4 &= 0 \\\\ \lambda &= \frac{3 \pm \sqrt{-3^2 - 4 }}{2}\\\ \therefore \lambda &= -1,4 \end{align*} \]
นำ \( \lambda \) ที่ได้มา 2 ค่า ไปแทนที่ในสมการ (1) เพื่อหา \( \vec{v}\)
เมื่อ \( \lambda = -1 \) : \[ \begin{align*} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix} &= -1 \begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix} \\\\ 2v_1 + 3v_2 &= -v_1 \\ 2v_1 + v_2 &= -v_2 \\ 3v_1 &= -3v_2 \\ 2v_1 &= -2v_2 \\\\ \therefore v_1 = -v_2 \end{align*} \]
เมื่อ \( \lambda = 4 \) : \[ \begin{align*} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix} &= 4 \begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix} \\\\ 2v_1 + 3v_2 &= 4v_1 \\ 2v_1 + v_2 &= 4v_2 \\ -2v_1 &= -3v_2 \\ 2v_1 &= 3v_2 \\\\ \therefore v_1 = \frac{3}{2}v_2 \end{align*} \]
 |
| รูปที่ 2 Eigen vectors ที่คำนวณได้จะมีคุณสมบัติ linearly independent ต่อกัน |
 |
| รูปที่ 3 |
 |
| รูปที่ 4 |
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น