มีการกำหนดความหมาย (interpretation) ของความน่าจะเป็นไว้ 3 แนวทางคือ
1. Classical interpretation : ถ้า A คือ event ใดๆ และ S คือ sample space ที่มี A อยู่ แล้ว ค่าความน่าจะเป็นของ event A เขียนแทนด้วย \( P(A) \) คำนวณได้จากP(A) โยงจาก A ไปยังเซตของจำนวนจริงที่เป็นตัวแทนของโอกาสที่ A จะเกิดขึ้น สัจพจน์ (axioms) ของความน่าจะเป็นมีดังนี้
1. ค่าความน่าจะเป็นจะมีค่าอยู่ระหว่าง 0.0 กับ 1.0 เท่านั้น
♦ \( 0.0 \leqslant P(A) \leqslant 1.0 \)
2. ค่าความน่าจะเป็นของ sample space คือ 1.0 เพราะจะไม่มี event เกิดขึ้นนอก sample space
♦ \( P(S) = 1.0 \)
3. ถ้ามี event มากกว่า 1 event และ event เหล่านั้นไม่เกิดขึ้นพร้อมกัน (disjoint sets) ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อย 1 eventจะเกิดขึ้นคือผลรวมของค่าความน่าจะเป็นของแต่ละ events
♦ ถ้า \(A_1,A_2,A_3,...,A_n \) เป็น events ที่ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย (disjoint sets) แล้ว \( P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ...\cup A_n) = \sum_{i=1}^n P(A_i) \)
เพื่อขยายความการใช้สัจพจน์ทั้ง 3 ขอยกตัวอย่างดังนี้ ถ้าในการตรวจสอบสินค้าที่ผลิตออกมาจากสายการผลิต ผลตรวจตัวอย่างสินค้าแต่ละชิ้นจะมีอยู่ 2 ทางคือ acceptable (A) และ unacceptable (U) นั่นคือ
♦ \(S = \{A,U \} , P(S) = 1.0 \)
♦ \(P(A) \) คือความน่าจะเป็นของสินค้าที่มาตรวจจะได้สถานะ acceptable
♦ \(P(U) \) คือความน่าจะเป็นของสินค้าที่มาตรวจจะได้สถานะ unacceptable
♦ เพราะสินค้าชินเดียวจะมีสองสถานะไม่ได้ นั่นคือ A และ U จะไม่เกิดขึ้นพร้อมกัน
♦ จากสัจพจน์ที่ 3 ความน่าจะเป็นที่สินค้าจะได้สถานะอย่างใดอย่างหนึ่งคือ P(A) + P(U)
♦ และ \( P(S) = P(A) + P(U) \therefore P(A) = 1 - P(U) \)
2. Subjective interpretation : เป็นการตีความตามประสบการณ์ ระดับความเชื่อ การตัดสินใจ ข้อมูลประกอบ ฯล ของผู้ตีความ เช่น ถ้าเห็นเมฆสีดำรอยอยู่ บางคนอาจบอกว่าฝนจะตกแน่ แต่บางคนอาจบอกว่าไม่ตก การซื้อสลากกินแบ่งรัฐบาล ฯล การตีความแนวนี้เกิดขึ้นได้บ่อยครั้งในชีวิตประจำวัน
3. Empirical interpretation : เมื่อมีขนาดของ sample space จำนวนมากระดับหนึ่ง จะมีความเชื่อว่าค่า P(A) ที่คำนวณได้จะมีค่าเข้าใกล้ true probability ของ A เช่น
การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 100,000 ครั้ง แล้วได้ H 54,500 ครั้ง และ T 45,500 ครั้ง นั่นคือ P(H) = 0.545 และ P(T) = 0.455 สรุปว่า \(P(H) \approx P(T) \)
เนื้อหาที่จะกล่าวถึงต่อไปจะยึดการตีความตาม classical approach
คุณสมบัติของ probability ที่มีนอกเหนือจากที่กล่าวไว้ในสัจพจน์ ได้แก่
Complement rule :
 |
| รูปที่ 1 |
ถ้า A คือ event แล้ว \( A^\prime \) คือ event ที่อยู่ใน sample space แต่ไม่เกิดร่วมกับ A (disjoint) จากสัจพจน์ที่ 3 จะได้ \[ \begin{align*} P(A) + P(A^\prime) &= P(S) \\ P(A) + P(A^\prime) &= 1 \\ \therefore P(A) &= 1-P(A^\prime) \\ \end{align*} \]
ตัวอย่าง ถ้าระบบการผลิตสินค้าของโรงงานแห่งหนึ่ง มีระบบย่อย 3 ระบบ A,B และ C การทำงานของแต่ละระบบย่อยมี 2 สถานะคือ success (S) และ fail (Fail) ในการผลิตสินค้าระบบย่อยทุกระบบต้องมีสถานะเป็น S จึงจะผลิตสินค้าได้
 |
| รูปที่ 2 |
ถ้าให้ S แทน sample space ของสถานะของระบบย่อย แล้ว
\[ S = \begin{equation} \begin{Bmatrix} (S,S,S),(S,S,F), \\ (S,F,S),(S,F,F),\\ (F,S,S),(F,S,F), \\ (F,F,S),(F,F,F)\\ \end{Bmatrix} \end{equation} \]ถ้าให้ X แทน event ที่ไม่สามารถผลิตสินค้าได้ (อย่างน้อย 1 ระบบย่อยเป็น F)
\[ X = \begin{equation} \begin{Bmatrix} (S,S,F), \\ (S,F,S),(S,F,F),\\ (F,S,S),(F,S,F), \\ (F,F,S),(F,F,F)\\ \end{Bmatrix} \end{equation} \]และจะได้ \[ X^\prime = \{ (S,S,S)\} \]
\[ \begin{align*} P(X) &= \frac{\left|X\right|}{\left|S\right|} \\ P(X) &= \frac{7}{8} \\ P(X^\prime) &= \frac{1}{8} \\ P(X) + P(X^\prime) &= \frac{7}{8} + \frac{1}{8} \\ \therefore P(X) + P(X^\prime) &= 1.0 \end{align*} \]
Addition rule :
 |
| รูปที่ 3 |
จากรูปจะได้ว่า \(A \cup B = A + (A^\prime \cap B )\) หรือ \(P(A \cup B) = P(A) + P(A^\prime \cap B ) \)
\[ \begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(A^\prime \cap B ) \\ P(A \cup B) &= P(A) + P(B - (A \cap B) ) \\ \therefore P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ \end{align*} \]ตัวอย่าง จากการสำรวจทางการตลาดที่หมู่บ้านหนึ่ง ของบริษัท XYZ พบว่า 60% ของครัวเรือนติดตั้งระบบ cable TV ของบริษัท จำนวน 80% ติดตั้งระบบ Internet ของบริษัท และจำนวน 50 % ติดตั้งทั้ง cable TV และ Internet
ใช้รูปที่ 3 ประกอบ ให้ A แทน event ของการติดตั้ง cable TV และ B แทน event ของการติดต้้งระบบ Internet
♦ ค่าความน่าจะเป็นของการติดต้้งระบบ calbe TV คือ \( P(A ) \)
♦ ค่าความน่าจะเป็นของการติดต้้งระบบ Internet คือ \( P(B) \)
♦ ค่าความน่าจะเป็นของการติดต้้งระบบ cable TV และ Internet คือ \( P(A \cap B) \)
♦ และค่าความน่าจะเป็นของการติดต้้งระบบ calbe TV หรือ Internet คือ \( P(A \cup B ) \)
\[ \begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ P(A \cup B) &= 0.6 + 0.8 - 0.5 \\ P(A \cup B) &= 0.9 \\ \end{align*} \]ตีความว่า 90% ของครัวเรือนในหมู่บ้านแห่งนี้ได้มีการใช้บริการของบริษัท XYZ อย่างน้อย 1 อย่าง
พิจารณาแผนภาพจะเห็นว่า ครัวเรือนที่มีระบบ cable TV (วงกลม A) นั้นมีบางส่วนที่มีระบบ Internet รวมอยู่ด้วย ดังนั้นจำนวนครัวเรือนที่มีแต่ cable TV อย่างเดียวจะเป็น 60% - 50% = 10%
ทำนองเดียวกัน จำนวนครัวเรือนที่มีแต่ Internet อย่างเดียวจะเป็น 80% - 50% = 30%
ดังนั้นสรุปได้ว่าในหมู่บ้านนี้ มีการใช้บริการของ XYZ ดังนี้
♦ ติดตั้ง cable TV อย่างเดียว 10 %
♦ ติดตั้ง Intenet อย่างเดียว 30 %
♦ ติดตั้ง ทั้ง cable TV และ Internet 50 %
♦ ไม่ติดตั้งอะไรเลย 10 %
การระบุค่าเป็น % ก็จัดเป็นการระบุค่าความน่าจะเป็นได้ เช่น มีการติดตั้ง cableTV 60% หมายถึง ถ้าให้ C แทน event ของครัวเรือนที่มีการติดตั้ง cableTV นั่นคือ \( \left|S\right| = 100 \) และ \( \left|C\right| = 60 \) จะได้ \( P(C) = \frac{60}{100}\) หรือ 60%
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น