Probability : ความหมาย , สัจพจน์ และคุณสมบัติ (Interpretation, axioms, and properties)

มีการกำหนดความหมาย (interpretation) ของความน่าจะเป็นไว้ 3 แนวทางคือ

1. Classical interpretation : ถ้า A คือ event ใดๆ และ S คือ sample space ที่มี A อยู่ แล้ว ค่าความน่าจะเป็นของ event A เขียนแทนด้วย $P(A)$ คำนวณได้จาก

$$\begin{array}{}\text{(1.0)}& P(A)& =\frac{\text{number of outcomes in A}}{\text{number of possible outcomes}}\text{(1.1)}& P(A)& =\frac{\left|A\right|}{\left|S\right|}\end{array}$$

P(A) โยงจาก A ไปยังเซตของจำนวนจริงที่เป็นตัวแทนของโอกาสที่ A จะเกิดขึ้น สัจพจน์ (axioms) ของความน่าจะเป็นมีดังนี้

1. ค่าความน่าจะเป็นจะมีค่าอยู่ระหว่าง 0.0 กับ 1.0 เท่านั้น

 ♦  $0.0⩽P(A)⩽1.0$

2. ค่าความน่าจะเป็นของ sample space คือ 1.0 เพราะจะไม่มี event เกิดขึ้นนอก sample space

 ♦  $P(S)=1.0$

3. ถ้ามี event มากกว่า 1 event และ event เหล่านั้นไม่เกิดขึ้นพร้อมกัน (disjoint sets) ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อย 1 eventจะเกิดขึ้นคือผลรวมของค่าความน่าจะเป็นของแต่ละ events

 ♦  ถ้า $A_1,A_2,A_3,...,A_n$ เป็น events ที่ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย (disjoint sets) แล้ว $P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup ...\cup A_n)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$

เพื่อขยายความการใช้สัจพจน์ทั้ง 3 ขอยกตัวอย่างดังนี้ ถ้าในการตรวจสอบสินค้าที่ผลิตออกมาจากสายการผลิต ผลตรวจตัวอย่างสินค้าแต่ละชิ้นจะมีอยู่ 2 ทางคือ acceptable (A) และ unacceptable (U) นั่นคือ

 ♦  $S=\{A,U\},P(S)=1.0$

 ♦  $P(A)$ คือความน่าจะเป็นของสินค้าที่มาตรวจจะได้สถานะ acceptable

 ♦  $P(U)$ คือความน่าจะเป็นของสินค้าที่มาตรวจจะได้สถานะ unacceptable

 ♦  เพราะสินค้าชินเดียวจะมีสองสถานะไม่ได้ นั่นคือ A และ U จะไม่เกิดขึ้นพร้อมกัน

 ♦  จากสัจพจน์ที่ 3 ความน่าจะเป็นที่สินค้าจะได้สถานะอย่างใดอย่างหนึ่งคือ P(A) + P(U)

 ♦  และ $P(S)=P(A)+P(U)\therefore P(A)=1-P(U)$

2. Subjective interpretation : เป็นการตีความตามประสบการณ์ ระดับความเชื่อ การตัดสินใจ ข้อมูลประกอบ ฯล ของผู้ตีความ เช่น ถ้าเห็นเมฆสีดำรอยอยู่ บางคนอาจบอกว่าฝนจะตกแน่ แต่บางคนอาจบอกว่าไม่ตก การซื้อสลากกินแบ่งรัฐบาล ฯล การตีความแนวนี้เกิดขึ้นได้บ่อยครั้งในชีวิตประจำวัน

3. Empirical interpretation : เมื่อมีขนาดของ sample space จำนวนมากระดับหนึ่ง จะมีความเชื่อว่าค่า P(A) ที่คำนวณได้จะมีค่าเข้าใกล้ true probability ของ A เช่น

การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 100,000 ครั้ง แล้วได้ H 54,500 ครั้ง และ T 45,500 ครั้ง นั่นคือ P(H) = 0.545 และ P(T) = 0.455 สรุปว่า $P(H)\approx P(T)$

เนื้อหาที่จะกล่าวถึงต่อไปจะยึดการตีความตาม classical approach

คุณสมบัติของ probability ที่มีนอกเหนือจากที่กล่าวไว้ในสัจพจน์ ได้แก่

Complement rule :

$$\begin{array}{}\text{(2.0)}& P(A)=1-P(A^{\prime })\end{array}$$

รูปที่ 1

ถ้า A คือ event แล้ว $A^{\prime }$ คือ event ที่อยู่ใน sample space แต่ไม่เกิดร่วมกับ A (disjoint) จากสัจพจน์ที่ 3 จะได้ $$\begin{array}{rl}P(A)+P(A^{\prime })& =P(S)\\ P(A)+P(A^{\prime })& =1\\ \therefore P(A)& =1-P(A^{\prime })\end{array}$$

ตัวอย่าง ถ้าระบบการผลิตสินค้าของโรงงานแห่งหนึ่ง มีระบบย่อย 3 ระบบ A,B และ C การทำงานของแต่ละระบบย่อยมี 2 สถานะคือ success (S) และ fail (Fail) ในการผลิตสินค้าระบบย่อยทุกระบบต้องมีสถานะเป็น S จึงจะผลิตสินค้าได้

รูปที่ 2

ถ้าให้ S แทน sample space ของสถานะของระบบย่อย แล้ว

$$S=\left\{\begin{array}{c}(S,S,S),(S,S,F),\\ (S,F,S),(S,F,F),\\ (F,S,S),(F,S,F),\\ (F,F,S),(F,F,F)\end{array}\right\}$$

ถ้าให้ X แทน event ที่ไม่สามารถผลิตสินค้าได้ (อย่างน้อย 1 ระบบย่อยเป็น F)

$$X=\left\{\begin{array}{c}(S,S,F),\\ (S,F,S),(S,F,F),\\ (F,S,S),(F,S,F),\\ (F,F,S),(F,F,F)\end{array}\right\}$$

และจะได้ $$X^{\prime }=\{(S,S,S)\}$$

$$\begin{array}{rl}P(X)& =\frac{\left|X\right|}{\left|S\right|}\\ P(X)& =\frac{7}{8}\\ P(X^{\prime })& =\frac{1}{8}\\ P(X)+P(X^{\prime })& =\frac{7}{8}+\frac{1}{8}\\ \therefore P(X)+P(X^{\prime })& =1.0\end{array}$$

Addition rule :

$$\begin{array}{}\text{(3.0)}& P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\end{array}$$

รูปที่ 3

จากรูปจะได้ว่า $A\cup B=A+(A^{\prime }\cap B)$ หรือ $P(A\cup B)=P(A)+P(A^{\prime }\cap B)$

$$\begin{array}{rl}P(A\cup B)& =P(A)+P(A^{\prime }\cap B)\\ P(A\cup B)& =P(A)+P(B-(A\cap B))\\ \therefore P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\end{array}$$

ตัวอย่าง จากการสำรวจทางการตลาดที่หมู่บ้านหนึ่ง ของบริษัท XYZ พบว่า 60% ของครัวเรือนติดตั้งระบบ cable TV ของบริษัท จำนวน 80% ติดตั้งระบบ Internet ของบริษัท และจำนวน 50 % ติดตั้งทั้ง cable TV และ Internet

ใช้รูปที่ 3 ประกอบ ให้ A แทน event ของการติดตั้ง cable TV และ B แทน event ของการติดต้้งระบบ Internet

 ♦ ค่าความน่าจะเป็นของการติดต้้งระบบ calbe TV คือ $P(A)$

 ♦ ค่าความน่าจะเป็นของการติดต้้งระบบ Internet คือ $P(B)$

 ♦ ค่าความน่าจะเป็นของการติดต้้งระบบ cable TV และ Internet คือ $P(A\cap B)$

 ♦ และค่าความน่าจะเป็นของการติดต้้งระบบ calbe TV หรือ Internet คือ $P(A\cup B)$

$$\begin{array}{rl}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ P(A\cup B)& =0.6+0.8-0.5\\ P(A\cup B)& =0.9\end{array}$$

ตีความว่า 90% ของครัวเรือนในหมู่บ้านแห่งนี้ได้มีการใช้บริการของบริษัท XYZ อย่างน้อย 1 อย่าง

พิจารณาแผนภาพจะเห็นว่า ครัวเรือนที่มีระบบ cable TV (วงกลม A) นั้นมีบางส่วนที่มีระบบ Internet รวมอยู่ด้วย ดังนั้นจำนวนครัวเรือนที่มีแต่ cable TV อย่างเดียวจะเป็น 60% - 50% = 10%

ทำนองเดียวกัน จำนวนครัวเรือนที่มีแต่ Internet อย่างเดียวจะเป็น 80% - 50% = 30%

ดังนั้นสรุปได้ว่าในหมู่บ้านนี้ มีการใช้บริการของ XYZ ดังนี้

 ♦ ติดตั้ง cable TV อย่างเดียว 10 %

 ♦ ติดตั้ง Intenet อย่างเดียว 30 %

 ♦ ติดตั้ง ทั้ง cable TV และ Internet 50 %

 ♦ ไม่ติดตั้งอะไรเลย 10 %

การระบุค่าเป็น % ก็จัดเป็นการระบุค่าความน่าจะเป็นได้ เช่น มีการติดตั้ง cableTV 60% หมายถึง ถ้าให้ C แทน event ของครัวเรือนที่มีการติดตั้ง cableTV นั่นคือ $\left|S\right|=100$ และ $\left|C\right|=60$ จะได้ $P(C)=\frac{60}{100}$ หรือ 60%