Basic Calculus : Limits

แนวคิดเรื่อง Differentiation และ Integration เป็นแนวคิดพื้นฐานของ calculus

หัวข้อ

  ♦ Differentiation และ Integration

  ♦ ความหมายของ limits

  ♦ คุณสมบัติของ limits

Differentiation และ Integration

ดูตัวอย่างสมมุติ ในการทดลองเรื่องการเคลื่อนที่ของวัตถุชนิดหนึ่ง โดยทำการวัดระยะทางของวัตถุที่เคลื่อนไปได้ (displacement) หน่วยวัดเป็นเมตร กับเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่หน่วยวัดเป็นวินาทีได้ดังรูปที่ 1

รูปที่ 1

แนวคิดทั่วไปในการหาค่าความเร็ว (velocity) ในการเคลื่อนที่ของวัตถุ หาได้จาก

$$\begin{array}{r}\text{(1.0)}& \text{velocity}& =\frac{\text{displacement}}{\text{time elapsed}}\\ \text{(1.1)}& v& =\frac{\mathrm{\Delta }S}{\mathrm{\Delta }t}\end{array}$$

ในการทดลองครั้งนี้ เรายังไม่ทราบความเร็วในการเคลื่อนที่ของวัตถุ หากต้องการหาความเร็ว ณ ที่เวลาใด เราจะใช้วิธีการความต่างของระยะทางที่เคลื่อนที่ต่อเวลาที่เสียไป ทำหลายๆ ครั้ง แต่ละครั้งก็จะทำการลดระยะห่างของเวลาไปเรื่อยๆ เช่น ถ้ากำหนดให้ว่าต้องการหาความเร็ว ณ เวลา t = 5 มีขั้นตอนดังนี้

  1. บันทึกระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ ณ t = 5 สมมุติว่าเป็น $s_1$

  2. เพิ่มเวลาออกไปจาก t = 5 โดยเพิ่มเวลาครั้งละ $\frac{1}{t^n}$ เมื่อ n จำนวนครั้งของการเพิ่มเวลาออกไป และ t เป็นเวลาเริ่มต้น แล้วทำการวัดระยะทางทุกครั้ง

  3. ทำการคำนวณหาความเร็วจากสมการ (1.0),(1.1)

ข้อมูลที่ได้แสดงในตาราง

time	displacement	$\mathrm{\Delta }S$	$\mathrm{\Delta }t$	$v=\frac{\mathrm{\Delta }S}{\mathrm{\Delta }t}$
5.2	27.0400	2.0400	0.20	10.2000
5.04	25.4016	0.4016	0.04	10.0400
5.008	25.0801	0.0801	0.008	10.0080
5.0016	25.0160	0.0160	0.0016	10.0016
5.00032	25.0032	0.0032	0.00032	10.0003
5.000064	25.0006	0.0006	0.000064	10.0001
...	...	...	...	...

จากตารางจะสังเกตุได้ว่า ยิ่งช่วงความต่างของเวลา ($\mathrm{\Delta }t$) เล็กลงเท่าใด ค่าของ velocity ก็ยิ่งเข้าใกล้ค่าคงที่ 10 เท่านั้น ทำให้เรามองเห็นภาพว่า ณ ที่ t = 5 ค่าของ velocity จะต้องมีค่าเป็น 10 ตัวอย่างนี้เป็นตัวอย่างทางทฤษฎี ยกขึ้นมาเพื่อให้เข้าใจแนวคิดแรกของ Limits คือ การมองที่ความต่างที่ยิ่งน้อยลงเท่าใด ค่าของสิ่งที่กำลังสนใจก็จะเข้าใกล้ค่าๆหนึ่ง (differentiation)

มาดูอีกตัวอย่างหนี่ง สมการ $f(x)=x^2$ ถ้ากำหนดให้ค่า x เป็นจำนวนจริงระหว่าง [0,1] แล้ว จะได้กราฟของ function ดังรูปที่ 2

รูปที่ 2

ถ้าต้องการหาพื้นที่ใต้กราฟทั้งหมด สามารถใช้การแบ่งพื้นที่ออกเป็นสี่เหลี่ยมหลายรูป คำนวณพื้นที่ของแต่ละรูปแล้วนำมารวมกัน ดังแสดงในรูปที่ 3 โดยหลักการแล้ว ยิ่งการแบ่งพืนที่ให้ละเอียดมากขึ้นเท่าใด พื้นที่ที่คำนวณได้ก็จะยิ่งใกล้กับพื้นที่จริงเท่านั้น

รูปที่ 3

เนื่องจากกำหนดให้ X มีค่าระหว่าง [0,1] ถ้าแบ่งออกเป็นช่วงจำนวน $n$ ส่วน เพื่อใช้เป็นด้านกว้างของสี่เหลี่ยม แต่ละส่วนจะมีค่าเป็น $\frac{1}{n}$ และสามารถเขียนช่วงของตัวเลขได้ดังนี้

$$[0,\frac{1}{n}],[\frac{1}{n},\frac{2}{n}],[\frac{2}{n},\frac{3}{n}],...,[\frac{n-1}{n},\frac{n}{n}]$$

และกำหนดให้ $Y=X^2$ นั่นคือความสูงของรูปสี่เหลี่ยมสามารถคำนวณได้ และขอให้สังเกตุช่วงของตัวเลขก่อนหน้า ความสูงของสี่เหลี่ยมจะใช้ตัวเลขแรกมาคำนวณ (ตัวเลขซ้ายมือของแต่ละช่วง) ดังนั้นจะได้ลำดับของความสูงดังนี้

$$0,(\frac{1}{n}{)}^2,(\frac{2}{n}{)}^2,...,(\frac{n-1}{n}{)}^2$$

นำตัวเลขความสูงมาคูณกับ $\frac{1}{n}$ เป็นพื้นที่ของสี่เหลียมแต่ละรูปแล้วนำมารวมกัน

$$\begin{array}{rl}\text{area under curv}& =\frac{1}{n}(\frac{1}{n}{)}^2+\frac{1}{n}(\frac{2}{n}{)}^2+...+\frac{1}{n}(\frac{n-1}{n}{)}^2\\ & =\frac{1+2^2+3^2+...+(n-1{)}^2}{n^3}\\ \\ & =\frac{n(n+1)(2n+1}{6n^3}\\ \\ & =\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\\ \\ & =\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}\\ \\ \text{(1.3)}& \text{area under curv}& =\frac{1}{3}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{6n^2}\end{array}$$

***การแก้สมการนี้ใช้ sum of square formula ช่วย

จาก (1.3) เมื่อ n มีค่าเพิ่มขึ้น (มีสี่เหลียมมากขึ้น) ค่าของ $\frac{1}{3n},\frac{1}{6n^2}$ จะลดลงจนในที่สุดเข้าใกล้ 0 แล้วทำให้ค่าของ area under curv จะเข้าใกล้ค่าคงที่ $\frac{1}{3}$ ซึ่งแสดงให้เห็นได้จากรูปที่ 4 เมือเพิ่มค่า n =100

รูปที่4

ตัวอย่างนี้ทำให้เห็นอีกแนวคิดหนึ่งของการใช้ limits ทางด้านการนำมารวมกัน (integration)

ความหมายของ limits

เนื้อหาก่อนหน้ามีการกล่าวถึงแนวคิดของ limits ตัวอย่างแรกต้องการดูว่าค่าของ velocity จะเข้าใกล้ค่าใด เมื่อเวลาในการเคลื่อนที่เข้าใกล้วินาทีที่ 5 (จะไม่กล่าวว่าที่วินาทีที่ 5 เพราะวัตถุยังเคลื่อนที่ ไม่ได้หยุดนิ่ง ) ตัวอย่างที่สองดูว่าพื้นที่ใต้กราฟเข้าใกล้ค่าใดเมื่อจำนวนของสี่เหลี่ยมใต้กราฟเพิ่มมากขึ้นไปเรื่อยๆ ในทางทฤษฎีคือเข้าใกล้ค่า $\mathrm{\infty }$ จะเห็นได้ว่า ทั้งสองแนวคิดเป็นการศึกษาดู output ของ function ที่จะเข้าใกล้ค่าใดเมื่อ input ของ function เข้าใกล้ค่าใดสักค่าหนึ่ง

ถ้ามี function $f(x)$, c และ L เป็นค่าคงที่ แล้ว

$$\underset{x\to c}{lim}f(x)=L$$

อ่านว่า " limit ของ function $f(x)$ เมื่อ x เข้าใกล้ค่า c มีค่าเท่ากับ L"

จากตัวอย่างเรื่องการหาความเร็วของวัตถุ $v=f(t)=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ คือ function ที่เราสนใจว่าเมื่อ $t\to 5$ แล้ว $f(t)$ จะเป็นเท่าใด เขียนเป็นสัญญลักษณ์คือ

$$\underset{t\to 5}{lim}f(t)=10$$

ตัวอย่างเรื่องการหาพื้นที่ใต้กราฟ function ที่เราสนใจไม่ใช่ $f(x)=x^2$ แต่เป็น $f(n)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{6n^2}$ เพราะเราต้องการหาพื้นที่ไม่ใช่ function ที่ทำให้เกิดเส้นกราฟ เขียนเป็นสัญญลักษณ์คือ

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(n)=\frac{1}{3}$$

การเข้าใกล้ค่า L ใน limits มีได้ 2 ทิศทาง คือ ด้านที่น้อยกว่า L และด้านที่มากกว่า L

  ♦  ถ้าให้ $\underset{x\to c}{lim}f(x)=L^{-}$ คือ limits ที่เข้าใกล้ค่า L ทางด้านน้อยกว่า

  ♦  ถ้าให้ $\underset{x\to c}{lim}f(x)=L^{+}$ คือ limits ที่เข้าใกล้ค่า L ทางด้านมากกว่า

$\underset{x\to c}{lim}f(x)=L$ จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $$\underset{x\to c}{lim}f(x)=L^{-}=\underset{x\to c}{lim}f(x)=L^{+}=L$$

คุณสมบัติของ limits ที่พบบ่อย

เมื่อ $\underset{x\to c}{lim}f(x)$ และ $\underset{x\to c}{lim}g(x)$ สามารถหาค่าได้

  ♦  $\underset{x\to c}{lim}nx=nc$

  ♦  $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^p}=0,p⩾0$

  ♦  $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{p^x}=0,p⩾0$

  ♦  $\underset{x\to c}{lim}(f(x)+g(x))=\underset{x\to c}{lim}f(x)+\underset{x\to c}{lim}g(x)$

  ♦  $\underset{x\to c}{lim}(f(x)-g(x))=\underset{x\to c}{lim}f(x)-\underset{x\to c}{lim}g(x)$

  ♦  $\underset{x\to c}{lim}(f(x)\cdot g(x))=\underset{x\to c}{lim}f(x)\cdot \underset{x\to c}{lim}g(x)$

  ♦  $\underset{x\to c}{lim}\frac{(f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to c}{lim}f(x)}{\underset{x\to c}{lim}g(x)},\underset{x\to c}{lim}g(x)\ne 0$

  ♦  $\underset{x\to c}{lim}K=K,\text{ K is constant}$

คุณสมบัติพิเศษ

  ♦  $\underset{x\to a}{lim}\frac{x^n-a^n}{x-a}=n{a}^{(n-1)}$

  ♦  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(x)}{x}=1$

  ♦  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{tan(x)}{x}=1$

  ♦  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{cos(x)}{x}=1$

  ♦  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-cos(x)}{x}=0$

  ♦  $\underset{x\to 0}{lim}{e}^x=1$

  ♦  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1$

  ♦  $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

  ♦  $\underset{x\to 0}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^{\frac{1}{x}}=e$

  ♦  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x-1}{x}={\log }_{e}a$

  ♦  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\log (x+1)}{x}=1$

ตัวอย่าง

1. $\underset{x\to 3}{lim}(3x^2-x-2)$

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 3}{lim}(3x^2-x-2)& =\underset{x\to 3}{lim}3x^2-\underset{x\to 3}{lim}x-\underset{x\to 3}{lim}2\\ & =\underset{x\to 3}{lim}3\cdot \underset{x\to 3}{lim}{x}^2-3-2\\ & =3\cdot \underset{x\to 3}{lim}x\cdot \underset{x\to 3}{lim}x-5\\ & =3\cdot 3\cdot 3-5\\ & =22\end{array}$$

2. $\underset{x\to 4}{lim}\frac{(x-3)(x-2)}{x-4}$

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 4}{lim}\frac{(x-3)(x-2)}{x-4}& =\frac{\underset{x\to 4}{lim}(x-3)(x-2)}{\underset{x\to 4}{lim}x-4}\\ \\ & =\frac{\underset{x\to 4}{lim}(x-3)\cdot \underset{x\to 4}{lim}(x-2)}{\underset{x\to 4}{lim}x-4}\\ \\ & =\frac{[\underset{x\to 4}{lim}x-\underset{x\to 4}{lim}3]\cdot [\underset{x\to 4}{lim}x-\underset{x\to 4}{lim}2]}{\underset{x\to 4}{lim}x-\underset{x\to 4}{lim}4}\\ \\ & =\frac{[4-3]\cdot [4-2]}{4-4}\\ \\ & =\text{undefined}\end{array}$$

3. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(4+\frac{1}{2^x})$

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(4+\frac{1}{2^x})& =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}4+\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2^x}\\ \\ & =4+0\\ \\ & =4\end{array}$$