แนวคิดเรื่อง Differentiation และ Integration เป็นแนวคิดพื้นฐานของ calculus
Differentiation และ Integration
ดูตัวอย่างสมมุติ ในการทดลองเรื่องการเคลื่อนที่ของวัตถุชนิดหนึ่ง โดยทำการวัดระยะทางของวัตถุที่เคลื่อนไปได้ (displacement) หน่วยวัดเป็นเมตร กับเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่หน่วยวัดเป็นวินาทีได้ดังรูปที่ 1
 |
| รูปที่ 1 |
แนวคิดทั่วไปในการหาค่าความเร็ว (velocity) ในการเคลื่อนที่ของวัตถุ หาได้จาก
\[ \begin{align*} \text{velocity} &= \frac{\text{displacement}}{\text{time elapsed}} \tag{1.0} \\\\ v &= \frac{\Delta S}{\Delta t} \tag{1.1} \\ \end{align*} \]ในการทดลองครั้งนี้ เรายังไม่ทราบความเร็วในการเคลื่อนที่ของวัตถุ หากต้องการหาความเร็ว ณ ที่เวลาใด เราจะใช้วิธีการความต่างของระยะทางที่เคลื่อนที่ต่อเวลาที่เสียไป ทำหลายๆ ครั้ง แต่ละครั้งก็จะทำการลดระยะห่างของเวลาไปเรื่อยๆ เช่น ถ้ากำหนดให้ว่าต้องการหาความเร็ว ณ เวลา t = 5 มีขั้นตอนดังนี้
1. บันทึกระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ ณ t = 5 สมมุติว่าเป็น \(s_1\)
2. เพิ่มเวลาออกไปจาก t = 5 โดยเพิ่มเวลาครั้งละ \( \frac{1}{t^n}\) เมื่อ n จำนวนครั้งของการเพิ่มเวลาออกไป และ t เป็นเวลาเริ่มต้น แล้วทำการวัดระยะทางทุกครั้ง
3. ทำการคำนวณหาความเร็วจากสมการ (1.0),(1.1)
ข้อมูลที่ได้แสดงในตาราง
| time | displacement | \(\Delta S\) | \(\Delta t\) | \( v = \frac{\Delta S}{\Delta t}\) |
|---|---|---|---|---|
| 5.2 | 27.0400 | 2.0400 | 0.20 | 10.2000 |
| 5.04 | 25.4016 | 0.4016 | 0.04 | 10.0400 |
| 5.008 | 25.0801 | 0.0801 | 0.008 | 10.0080 |
| 5.0016 | 25.0160 | 0.0160 | 0.0016 | 10.0016 |
| 5.00032 | 25.0032 | 0.0032 | 0.00032 | 10.0003 |
| 5.000064 | 25.0006 | 0.0006 | 0.000064 | 10.0001 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
จากตารางจะสังเกตุได้ว่า ยิ่งช่วงความต่างของเวลา (\( \Delta t\)) เล็กลงเท่าใด ค่าของ velocity ก็ยิ่งเข้าใกล้ค่าคงที่ 10 เท่านั้น ทำให้เรามองเห็นภาพว่า ณ ที่ t = 5 ค่าของ velocity จะต้องมีค่าเป็น 10 ตัวอย่างนี้เป็นตัวอย่างทางทฤษฎี ยกขึ้นมาเพื่อให้เข้าใจแนวคิดแรกของ Limits คือ การมองที่ความต่างที่ยิ่งน้อยลงเท่าใด ค่าของสิ่งที่กำลังสนใจก็จะเข้าใกล้ค่าๆหนึ่ง (differentiation)
มาดูอีกตัวอย่างหนี่ง สมการ \( f(x) = x^2 \) ถ้ากำหนดให้ค่า x เป็นจำนวนจริงระหว่าง [0,1] แล้ว จะได้กราฟของ function ดังรูปที่ 2
 |
| รูปที่ 2 |
ถ้าต้องการหาพื้นที่ใต้กราฟทั้งหมด สามารถใช้การแบ่งพื้นที่ออกเป็นสี่เหลี่ยมหลายรูป คำนวณพื้นที่ของแต่ละรูปแล้วนำมารวมกัน ดังแสดงในรูปที่ 3 โดยหลักการแล้ว ยิ่งการแบ่งพืนที่ให้ละเอียดมากขึ้นเท่าใด พื้นที่ที่คำนวณได้ก็จะยิ่งใกล้กับพื้นที่จริงเท่านั้น
 |
| รูปที่ 3 |
เนื่องจากกำหนดให้ X มีค่าระหว่าง [0,1] ถ้าแบ่งออกเป็นช่วงจำนวน \( n \) ส่วน เพื่อใช้เป็นด้านกว้างของสี่เหลี่ยม แต่ละส่วนจะมีค่าเป็น \( \frac{1}{n} \) และสามารถเขียนช่วงของตัวเลขได้ดังนี้
\[[0,\frac{1}{n}] , [\frac{1}{n},\frac{2}{n}] , [\frac{2}{n},\frac{3}{n}] , ..., [\frac{n-1}{n},\frac{n}{n}] \]และกำหนดให้ \(Y = X^2 \) นั่นคือความสูงของรูปสี่เหลี่ยมสามารถคำนวณได้ และขอให้สังเกตุช่วงของตัวเลขก่อนหน้า ความสูงของสี่เหลี่ยมจะใช้ตัวเลขแรกมาคำนวณ (ตัวเลขซ้ายมือของแต่ละช่วง) ดังนั้นจะได้ลำดับของความสูงดังนี้
\[0 , (\frac{1}{n})^2 , (\frac{2}{n})^2 , ..., (\frac{n-1}{n})^2 \]นำตัวเลขความสูงมาคูณกับ \( \frac{1}{n}\) เป็นพื้นที่ของสี่เหลียมแต่ละรูปแล้วนำมารวมกัน
\[ \begin{align*} \text{area under curv} &= \frac{1}{n}(\frac{1}{n})^2 + \frac{1}{n} (\frac{2}{n})^2 + ... + \frac{1}{n}(\frac{n-1}{n})^2 \\ &= \frac{1+2^2 +3^2+...+(n-1)^2}{n^3} \\\\ &= \frac{n(n+1)(2n+1}{6n^3} \\\\ &=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} \\\\ &=\frac{2n^2 + 3n +1}{6n^2} \\\\ \text{area under curv} &= \frac{1}{3} + \frac{1}{3n} + \frac{1}{6n^2} \tag{1.3} \end{align*} \]***การแก้สมการนี้ใช้ sum of square formula ช่วย
จาก (1.3) เมื่อ n มีค่าเพิ่มขึ้น (มีสี่เหลียมมากขึ้น) ค่าของ \(\frac{1}{3n} , \frac{1}{6n^2} \) จะลดลงจนในที่สุดเข้าใกล้ 0 แล้วทำให้ค่าของ area under curv จะเข้าใกล้ค่าคงที่ \( \frac{1}{3} \) ซึ่งแสดงให้เห็นได้จากรูปที่ 4 เมือเพิ่มค่า n =100
 |
| รูปที่4 |
ตัวอย่างนี้ทำให้เห็นอีกแนวคิดหนึ่งของการใช้ limits ทางด้านการนำมารวมกัน (integration)
ความหมายของ limits
เนื้อหาก่อนหน้ามีการกล่าวถึงแนวคิดของ limits ตัวอย่างแรกต้องการดูว่าค่าของ velocity จะเข้าใกล้ค่าใด เมื่อเวลาในการเคลื่อนที่เข้าใกล้วินาทีที่ 5 (จะไม่กล่าวว่าที่วินาทีที่ 5 เพราะวัตถุยังเคลื่อนที่ ไม่ได้หยุดนิ่ง ) ตัวอย่างที่สองดูว่าพื้นที่ใต้กราฟเข้าใกล้ค่าใดเมื่อจำนวนของสี่เหลี่ยมใต้กราฟเพิ่มมากขึ้นไปเรื่อยๆ ในทางทฤษฎีคือเข้าใกล้ค่า \( \infty \) จะเห็นได้ว่า ทั้งสองแนวคิดเป็นการศึกษาดู output ของ function ที่จะเข้าใกล้ค่าใดเมื่อ input ของ function เข้าใกล้ค่าใดสักค่าหนึ่ง
ถ้ามี function \( f(x) \), c และ L เป็นค่าคงที่ แล้ว
\[ \lim_{x \to c} f(x) = L \]อ่านว่า " limit ของ function \( f(x) \) เมื่อ x เข้าใกล้ค่า c มีค่าเท่ากับ L"
จากตัวอย่างเรื่องการหาความเร็วของวัตถุ \(v = f(t) = \frac{\Delta s}{\Delta t}\) คือ function ที่เราสนใจว่าเมื่อ \( t \rightarrow 5 \) แล้ว \( f(t) \) จะเป็นเท่าใด เขียนเป็นสัญญลักษณ์คือ
\[ \lim_{t \to 5} f(t) = 10 \]ตัวอย่างเรื่องการหาพื้นที่ใต้กราฟ function ที่เราสนใจไม่ใช่ \( f(x) = x^2 \) แต่เป็น \( f(n) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3n} + \frac{1}{6n^2} \) เพราะเราต้องการหาพื้นที่ไม่ใช่ function ที่ทำให้เกิดเส้นกราฟ เขียนเป็นสัญญลักษณ์คือ
\[ \lim_{n \to \infty} f(n) = \frac{1}{3} \]การเข้าใกล้ค่า L ใน limits มีได้ 2 ทิศทาง คือ ด้านที่น้อยกว่า L และด้านที่มากกว่า L
♦ ถ้าให้ \( \lim_{x \to c} f(x) = L^- \) คือ limits ที่เข้าใกล้ค่า L ทางด้านน้อยกว่า
♦ ถ้าให้ \( \lim_{x \to c} f(x) = L^+ \) คือ limits ที่เข้าใกล้ค่า L ทางด้านมากกว่า
\( \lim_{x \to c} f(x) = L \) จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ \[ \lim_{x \to c} f(x) = L^- = \lim_{x \to c} f(x) = L^+ = L\]
คุณสมบัติของ limits ที่พบบ่อย
เมื่อ \( \lim_{x \to c} f(x) \) และ \( \lim_{x \to c} g(x)\) สามารถหาค่าได้
♦ \( \lim_{x \to c} nx = nc \)
♦ \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^p} = 0 , p \geqslant 0 \)
♦ \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{p^x} = 0 , p \geqslant 0 \)
♦ \( \lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x\to c} g(x) \)
♦ \( \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x\to c} g(x) \)
♦ \( \lim_{x \to c} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x\to c} g(x) \)
♦ \( \lim_{x \to c} \frac{(f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)} { \lim_{x\to c} g(x)}, \lim_{x\to c} g(x) \neq 0 \)
♦ \( \lim_{x \to c} K = K, \text{ K is constant} \)
คุณสมบัติพิเศษ
♦ \( \lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x-a} = na^{(n-1)} \)
♦ \( \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1 \)
♦ \( \lim_{x \to 0} \frac{tan(x)}{x} = 1 \)
♦ \( \lim_{x \to 0} \frac{cos(x)}{x} = 1 \)
♦ \( \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x} = 0 \)
♦ \( \lim_{x \to 0} e^x = 1 \)
♦ \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x}= 1 \)
♦ \( \lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e \)
♦ \( \lim_{x \to 0} (1+\frac{1}{x})^\frac{1}{x} = e \)
♦ \( \lim_{x \to 0} \frac{a^x -1}{x} = \log_{e} a \)
♦ \( \lim_{x \to 0} \frac{\log (x+1)}{x} = 1 \)
ตัวอย่าง
1. \( \lim_{x \to 3} (3x^2-x-2) \)
\[ \begin{align*} \lim_{x \to 3} (3x^2-x-2) &= \lim_{x \to 3}3x^2 - \lim_{x \to 3}x - \lim_{x \to 3}2 \\ &= \lim_{x \to 3}3 \cdot \lim_{x \to 3}x^2 - 3 - 2 \\ &= 3 \cdot \lim_{x \to 3}x \cdot \lim_{x \to 3}x - 5 \\ &= 3 \cdot 3 \cdot 3 - 5 \\ &= 22 \\ \end{align*} \]
2. \( \lim_{x \to 4} \frac{(x-3)(x-2)}{x-4} \)
\[ \begin{align*} \lim_{x \to 4} \frac{(x-3)(x-2)}{x-4} &= \frac{\lim_{x \to 4}(x-3)(x-2)}{\lim_{x \to 4}x-4} \\\\ &= \frac{\lim_{x \to 4}(x-3) \cdot \lim_{x \to 4}(x-2)}{\lim_{x \to 4}x-4}\\\\ &= \frac{[\lim_{x \to 4}x- \lim_{x \to 4} 3] \cdot [\lim_{x \to 4}x-\lim_{x \to 4}2]}{\lim_{x \to 4}x-\lim_{x \to 4} 4}\\\\ &= \frac{[4- 3] \cdot [4-2]}{4- 4}\\\\ &= \text{undefined} \end{align*} \]
3. \( \lim_{x \to \infty} (4+ \frac{1}{2^x}) \)
\[ \begin{align*} \lim_{x \to \infty} (4+ \frac{1}{2^x}) &= \lim_{x \to \infty} 4+ \lim_{x \to \infty}\frac{1}{2^x} \\\\ &= 4+ 0\\\\ &= 4 \end{align*} \]
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น