Probability : Normal Distribution

Recap :

  ♦ Probability density function (PDF) คือ function ที่ใช้ระบุ probability ของ continuous random variable ที่อยู่ระหว่างช่วงที่กำหนด [a,b]

  ♦ Cumulative distribution function (CDF) คือ function ที่ใช้ระบุ probability รวมของ continuous random variable ที่มีค่าน้อยกว่าค่าที่กำหนด ($-\mathrm{\infty },a$]

Normal distribution หรือ Guassian distribution เป็น probability distribution ที่มีความสำคัญมากที่สุด พบได้ในชีวิตจริงเป็นส่วนใหญ่ มีความเชื่อมโยงกับ central limit theorem ทำให้ยอมรับว่า distribution ของข้อมูลที่จัดเก็บมาหากมีจำนวนมากพอก็อนุมานว่าเป็น normal distribution ได้ ตัวอย่างข้อมูลจากสัมภาษณ์ผู้ป่วยใน Sylhet Diabetes Hospital in Sylhet, Bangladesh ถึงความเสี่ยงต่อการเป็นโรคเบาหวานในระยะแรกแยกตามอายุ

รูปที่ 1

PDF ของ normal distribution คือ

$$\begin{array}{}\text{(1.0)}& f(x)=\frac{e^u}{\sqrt{2\pi \sigma }}\end{array}$$

เมื่อ

$$u=-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}$$

และ e คือ Euler's number มีค่าประมาณ 2.71828 , $\pi =\frac{22}{7}$

Histogram ของ normal distribution มีลักษณะเป็นรูประฆังคว่ำและสมมาตร (symmetry bell shape) เทียบกับรูปที่ 1 ซึ่งเป็นข้อมูลที่เก็บมาภาคสนามจะเห็นว่ามีรูปทรงใกล้เคียงกันมาก

รูปที่ 2 Histogram ของ Normal distribution

ค่า expectation และ variance ของ normal distribution :

$$\begin{array}{r}E(X)=\mu \\ \\ Var(X)={\sigma }^2\end{array}$$

สัญลักษณ์ที่ใช้บอกว่า random variable X มีการแจกแจงแบบ normal distribution คือ $X\sim N(\mu ,\sigma )$ อ่านว่า "X is normal distribution with parameter $\mu \text{ and }\sigma$ "

ค่าของ $\mu ,\sigma$ ส่งผลต่อรูปแบบของ histogram ถ้ามี sample spance 3 ชุด มี ${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3$ เท่ากัน แต่ ${\mu }_1<{\mu }_2<m{u}_3$ ทำให้ได้ histogram ดังรูปที่ 3 หาก ${\mu }_1={\mu }_2=m{u}_3$ แต่ ${\sigma }_1<{\sigma }_2<sigm{a}_3$ จะได้ดังรูปที่ 4

รูปที่ 3

รูปที่ 4

Standard normal distribution

Linear transformation ของ Normal distribution

ถ้า $X\sim N(\mu ,\sigma )$ และ a,b เป็นค่าคงที่ หาก

$$Y=aX+b$$

จะได้ว่า Y มีการแจกแจงแบบ normal distribution ด้วย โดย

$$\begin{array}{rl}E(Y)& =a\mu +b\\ \\ Var(Y)& =a^2{\sigma }^2\end{array}$$

ถ้าให้ a = $\frac{1}{\sigma }$ และ b = $-\frac{\mu }{\sigma }$ แล้วทำ linear transform จาก $X\to Z$

$$\begin{array}{rl}Z& =\frac{1}{\sigma }X-\frac{\mu }{\sigma }\\ \\ \text{(1.1)}& Z& =\frac{X-\mu }{\sigma }\end{array}$$

จากคุณสมบัติของการถ่ายทอดผ่าน linear transformation ทำให้ Z มีการแจกแจงแจงแบบ normal distribution และ

$$\begin{array}{rl}E(Z)& =\frac{1}{\sigma }\cdot \mu -\frac{\mu }{\sigma }\\ \\ E(Z)& =0\\ \\ \\ Var(Z)& =(\frac{1}{\sigma }\cdot \sigma {)}^2\\ \\ Var(Z)& =1\end{array}$$

นั่นคือ $Z\sim N(0,1)$ เรียก normal distribution ที่ $\mu =0,\sigma =1$ ว่า standard normal distribution และขั้นตอนการทำ linear transform $X\to Z$ เรียกว่า standardization (1.8)

การมี $\mu =0,\sigma =1$ ทำให้ standard normal distribution มี PDF ที่ดูง่ายขึ้น คือ

$$\begin{array}{}\text{(1.3)}& f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{z}^2}\end{array}$$

รูปที่ 5

  ♦ Standard normal distribution คือ normal distribution ที่มี $\mu =0$ และ $\sigma =1$

ข้อดีของการมี standard normal distribution คือช่วยในการคำนวณ probability ของ random variable ได้ง่ายขึ้น เพราะมีการสร้างตารางเพื่อใช้หา CDF ไว้แล้ว แล้วอาศัยหลักการที่ว่า normal distribution มีการถ่ายทอดทาง linear transformation ทำให้เราสามารถเทียบ probability ของ standard normal distribution กับ normal distribution อื่นได้

$$\begin{array}{rl}P(X\le x)& =P(\frac{X-\mu }{\sigma }\le \frac{x-\mu }{\sigma })\\ \\ P(X\le x)& =P(Z\le z)\\ \\ \therefore CDF(X)& =CDF(Z)\end{array}$$

ตัวอย่างสมมุติว่าค่าปริมาณน้ำฝนที่ตกลงมาต่อปีของเมือง A มีค่าเฉลี่ย ($\mu$) เป็น 60 มม. มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ($\sigma$) คือ 20 มม. ถ้าปริมาณน้ำฝนต่อปีมีการแจกแจงแบบ normal distribution จงหา probability ที่ปีนี้จะมีค่าปริมาณน้ำฝนต่อปีมากกว่า 80 มม.

แนวคิด : หา probability ที่ปริมาณน้ำฝนต่อปี $\le$ 80 มม. แล้วนำไปลบออกจาก 1.0

Standardization : เปลี่ยนค่า $X=80\to Z$

$$\begin{array}{rl}Z& =\frac{X-\mu }{\sigma }\\ \\ Z& =\frac{80-60}{20}\\ \\ & =1\end{array}$$

เราทราบว่า $P(X\le 80)=P(Z\le 1$ ไปดูในตาราง standard normal table เพื่อหาค่า $P(Z\le 1$ ได้เป็น 0.84134

ดังนั้น probability ที่ปริมาณน้ำฝนของปีนี้จะมากกว่า 80 มม. คือ $1.0-0.84134=0.1587$