Probability : Poisson distribution

Poisson distribution เป็น discrete probability distribution หรือ distribution ของเหตุการณ์ที่สามารถนับจำนวนได้ มักพบได้ในการนับจำนวนเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นในช่วงเวลาที่กำหนด (interval of time, space) เช่น

  ♦ จำนวนลูกค้าที่เข้ามาซื้อสินค้าระหว่าง 09:00 น. ถึง 12:00 น.

  ♦ จำนวนครั้งของการโทรเข้ามาแจ้งปัญหาของลูกค้าระหว่างวันจันทร์ถึงวันศุกร์

  ♦ ฯลฯ

ข้อสังเกตุจากตัวอย่างจะเห็นว่าแต่ละเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน ลูกค้าที่เข้ามาซื้อสินค้าในร้านแต่ละรายเป็นอิสระต่อกัน หรือการโทรเข้ามาแต่ละสายเป็นอิสระต่อกัน

Expectation และ Variance

การแจกแจงแบบ poisson มีลักษณะพิเศษคือมี expectation เท่ากับ variance เขียนแทนด้วย $\lambda$

$$\begin{array}{}\text{(1.0)}& E(X)=Var(X)=\lambda \end{array}$$

Probability mass function

เมื่อ X เป็น discrete random variable แล้ว X จะมีการแจกแจงแบบ poisson distribution มี pmf เป็นดังนี้

$$\begin{array}{}\text{(1.1)}& P(X=x)=\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }\end{array}$$

เมื่อ x = 0,1,2,3,4,...

ค่าของ $\lambda$ มีผลต่อรูปร่างของการแจกแจง ดังแสดงในรูปที่ 1 จะเห็นได้ว่าเมื่อ $\lambda$ มีค่าเพิ่มขึ้น รูปแบบของการแจกแจงจะยิ่งเหมือนกับ normal distribution สังเกตุที่ $\lambda \ge 10$ จะเป็นรูป bell shape ที่สมบูรณ์ ดังนั้นหากคำนวณค่า sample mean = 10 มักจะใช้การแจกแจง normal distribution แทน

รูปที่ 1