Probability : Uniform Distribution

ลองนึกถึงการเดาวันเกิดของคนที่ไม่รู้จักได้ 1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะทายถูกคือ $\frac{1}{366}$ วิธีคิดแบบทั่วไปคือทุกวันมีโอกาสเท่ากันหมดที่จะเป็นวันเกิดของคนๆนั้นได้ เช่นเดียวกันกับการโยนยเหรียญ การทอดลูกเต๋า การดึงไพ่จากสำรับ หรือการเลือกแผ่นป้ายรางวัลในรายการทีวี probability distribution ที่ทุกเหตุการณ์มีค่าเท่ากัน (หรืออนุมานว่าเท่ากัน) เรียกว่า uniform distribution

ถ้า X เป็น continuous random variable จะเรียกว่า X ว่ามี distribution แบบ uniform บนช่วง [a,b] ใดๆ ก็ต่อเมื่อมี PDF

$$\begin{array}{}\text{(1.4)}& f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a⩽x⩽b\\ \\ 0,& \text{otherwise}\end{array}\end{array}$$

รูปที่ 5 histogram แสดงการกระจายตัวของ Uniform distribution

คำนวณหา E(X) ของ uniform distribution

$$\begin{array}{rl}E(X)& ={\int }_a^{b}x\cdot f(x)dx\\ \\ & ={\int }_a^{b}x\frac{1}{b-a}dx\\ \\ & =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}xdx\\ \\ & =\frac{1}{b-a}\cdot \frac{1}{2}{x}^2{|}_a^b\\ \\ & =\frac{1}{b-a}\cdot \frac{b^2-a^2}{2}\\ \\ \text{(1.5)}& \therefore E(X)& =\frac{1}{2}(a+b)\end{array}$$

คำนวณหา Var(X) ของ uniform distribution

$$\begin{array}{rl}Var(X)& ={\int }_a^b{x}^2\cdot f(x)dx-{\mu }^2\\ \\ & ={\int }_a^b{x}^2\frac{1}{b-a}dx-(\frac{1}{2}(a+b){)}^2\\ \\ & =\frac{1}{b-a}{\int }_a^b{x}^{2}dx-(\frac{1}{2}(a+b){)}^2\\ \\ & =\frac{1}{b-a}\cdot \frac{1}{3}{x}^3{|}_a^b-(\frac{1}{2}(a+b){)}^2\\ \\ & =\frac{1}{b-a}\cdot \frac{b^3-a^3}{3}-(\frac{1}{2}(a+b){)}^2\\ \\ & =\frac{1}{b-a}\cdot \frac{(b-a)(b^2+ba+a^2)}{3}-(\frac{1}{2}(a+b){)}^2\\ \\ & =\frac{b^2-2ba+a^2}{12}\\ \\ \text{(1.6)}& \therefore Var(X)& =\frac{(b-a{)}^2}{12}\end{array}$$ (ดูเรื่องผลต่างกำลัง 3)

สำหรับ uniform distribution

$$\begin{array}{rl}\mu =E(X)& =\frac{1}{2}(a+b)\\ \\ \\ {\sigma }^2=Var(X)& =\frac{(b-a{)}^2}{12}\end{array}$$