ลองนึกถึงการเดาวันเกิดของคนที่ไม่รู้จักได้ 1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะทายถูกคือ \( \frac{1}{366} \) วิธีคิดแบบทั่วไปคือทุกวันมีโอกาสเท่ากันหมดที่จะเป็นวันเกิดของคนๆนั้นได้ เช่นเดียวกันกับการโยนยเหรียญ การทอดลูกเต๋า การดึงไพ่จากสำรับ หรือการเลือกแผ่นป้ายรางวัลในรายการทีวี probability distribution ที่ทุกเหตุการณ์มีค่าเท่ากัน (หรืออนุมานว่าเท่ากัน) เรียกว่า uniform distribution
ถ้า X เป็น continuous random variable จะเรียกว่า X ว่ามี distribution แบบ uniform บนช่วง [a,b] ใดๆ ก็ต่อเมื่อมี PDF
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a},& a \leqslant x \leqslant b\\\\ 0 , & \text{otherwise} \end{cases} \tag{1.4} \] |
| รูปที่ 5 histogram แสดงการกระจายตัวของ Uniform distribution |
คำนวณหา E(X) ของ uniform distribution
\[ \begin{align*} E(X) &= \int_a^b x\cdot f(x) dx \\\\ &= \int_a^b x\frac{1}{b-a} dx \\\\ &= \frac{1}{b-a}\int_a^b x dx\\\\ &= \frac{1}{b-a} \cdot \frac{1}{2}x^2 \bigg|_a^b \\\\\ &= \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^2 - a^2}{2} \\\\ \therefore E(X) &= \frac{1}{2}(a+b) \tag{1.5} \end{align*} \]คำนวณหา Var(X) ของ uniform distribution
\[ \begin{align*} Var(X) &= \int_a^b x^2\cdot f(x) dx - \mu^2 \\\\ &= \int_a^b x^2\frac{1}{b-a} dx - (\frac{1}{2}(a+b))^2\\\\ &= \frac{1}{b-a}\int_a^b x^2 dx - (\frac{1}{2}(a+b))^2 \\\\ &= \frac{1}{b-a} \cdot \frac{1}{3}x^3 \bigg|_a^b - (\frac{1}{2}(a+b))^2 \\\\\ &= \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^3 - a^3}{3} - (\frac{1}{2}(a+b))^2 \\\\ &= \frac{1}{b-a} \cdot \frac{(b-a)(b^2+ba+a^2)}{3}- (\frac{1}{2}(a+b))^2 \\\\ &= \frac{b^2-2ba+a^2}{12}\\\\ \therefore Var(X) &= \frac{(b-a)^2}{12} \tag{1.6} \end{align*} \] (ดูเรื่องผลต่างกำลัง 3)สำหรับ uniform distribution
\[ \begin{align*} \mu = E(X) &= \frac{1}{2}(a+b) \\\\\\ \sigma^2 = Var(X) &= \frac{(b-a)^2}{12} \end{align*} \]
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น