คณิตศาสตร์ : ระบบเลขฐาน

ระบบเลข เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงจำนวนต่าง ๆ ระบบเลขแต่ละระบบมีจำนวนตัวเลขที่ใช้เหมือนกับชื่อของระบบตัวเลขนั้น และมีฐานของจำนวนเลขตามชื่อของมัน เช่น เลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสิบ เลขฐานสิบหก [1]

ระบบเลขฐานที่พบบ่อย

ระบบเลข	ตัวเลขที่ใช้
2	0,1
8	0,1,2,3,4,5,6,7
10	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
16	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

การเขียนสัญญลักษณ์
1.เขียนตัวเลขในระบบเลขฐานนั้นให้ถูกต้อง
2. เขียนเลขฐานเป็นตัวห้อยไปท้ายสุด (ขวามือสุด)

ตัวอย่าง
11101₂,111₂
196₁₀,110₁₀
12AB₁₆,9B₁₆

หมายเหตุ เลขฐานสิบเป็นเลขฐานที่ใช้กันทั่วไปจะไม่เขียนเลขฐาน

การแปลงเลขฐานอื่นเป็นฐานสิบ
$$N=a_{n-<!--\; -\; -->1}\times <!--\; \times \; -->b^{n-<!--\; -\; -->1}+a_{n-<!--\; -\; -->2}\times <!--\; \times \; -->b^{n-<!--\; -\; -->2}+...+a_1\times <!--\; \times \; -->b^1+a_0\times <!--\; \times \; -->b^0$$
เมื่อ
n คือ จำนวนเลขโดด
a คือ เลขโดดในตำแหน่ง n - 1
b คือ เลขฐาน

ตัวอย่าง
11₂
เป็นเลขฐาน 2 มีเลขโดด 2 ตัว คือ 1,1 ดังนั้น n = 2
N = 1 x 2^2-1 + 1 x 2^2-2
N = 1 x 2¹ + 1 x 2⁰
N = 1 x 2 + 1 x 1
N = 2 + 1
N = 3

101101₂
เป็นเลขฐาน 2 มีเลขโดด 6 ตัว ดังนั้น n = 6
N = 1 x 2^6-1+ 0 x 2^6-2+ 1 x 2^6-3+ 1 x 2^6-4 + 0 x 2^6-5+ 1 x 2^6-6
N = 1 x 2⁵+ 0 x 2⁴+ 1 x 2³+ 1 x 2² + 0 x 2¹+ 1 x 2⁰
N = 1 x 32 + 0 x 16+ 1 x 8+ 1 x 4 + 0 x 2+ 1 x 1
N = 32 + 8 + 4 +1
N = 45

213₅
เป็นเลขฐาน 5 มีเลขโดด 3 ตัว ดังนั้น n = 3
N = 2 x 5^3-1+ 1 x 5^5-2+ 3 x 2^3-3
N = 2 x 25 + 1 x 5 + 3 x 1
N = 50 + 5 + 3
N = 32 + 8 + 4 +1
N = 58

A2B5₁₆
เป็นเลขฐาน 16 มีเลขโดด 4 ตัว ดังนั้น n = 4
ในระบบเลขฐาน 16, A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 ในคำนวณต้องแปลงตัวอักษรเหล่านี้ให้เป็นตัวเลขเสียก่อน
N = 10 x 16^4-1+ 2 x 16^4-2+ 11 x 16^4-3+ 5 x 16^4-4
N = 10 x 4096 + 2 x 256 + 11 x 16 + 5
N = 41,654

การแปลงเลขฐานสิบให้เป็นฐานอื่น
ใช้หลักการหาร ดังนี้
1. เลือกตัวหารโดยใช้เลขฐานที่ต้องการ เช่น ต้องการเปลี่ยนจากฐานสิบไปฐานสอง ตัวหารคือ 2 เป็นต้น
2. ตั้งหาร โดยเขียนเศษไว้ด้านข้าง
3. ทำการหารไปจนไม่สามารถหารต่อได้
4. ผลลัพธ์คือการนำเอาเศษที่ได้ในแต่ละขั้นของการหารมาเรียงกัน

ตัวอย่าง
เปลี่ยน 57 ให้เป็นเลขฐานสอง
1. ตัวหารคือ 2
2. ตั้งหาร
$57÷<!--\; ÷\; -->2=28\text{, เศษ 1}$
$28÷<!--\; ÷\; -->2=14\text{, เศษ 0}$
${\displaystyle 14÷2=7\text{, เศษ 0}}$
${\displaystyle 7÷2=3\text{, เศษ 1}}$
${\displaystyle 3÷2=1\text{, เศษ 1}}$
ผลลัพธ์คือการนำผลลัพธ์สุดท้ายและเศษมาเรียงกันทั้งหมดคือ 111001₂

เปลี่ยน 3275 ให้เป็นเลขฐาน 12
${\displaystyle 3275÷12=272\text{, เศษ 11 = B}}$
${\displaystyle 272÷12=22\text{, เศษ 8}}$
${\displaystyle 22÷12=1\text{, เศษ 10 = A}}$
ผลลัพธ์คือการนำผลลัพธ์สุดท้ายและเศษมาเรียงกันทั้งหมดคือ 1A8B₁₂

---

เอกสารอ้างอิง 
 [1] https://th.wikipedia.org/wiki/ระบบเลข