Physics : Equations of motion (kinematic formulas)

Kinematic formulas เป็นกลุ่มของสมการว่าด้วยความสัมพันธ์ของตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของวัตถุในสองมิติดังนี้
$\mathrm{△<!--\; △\; -->}s=\text{ displacement หรือการขจัด}$
$\mathrm{△<!--\; △\; -->}t=\text{ interval หรือ เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่}$
$v_0=\text{ initial velocity หรือ ความเร็วเริ่มต้น}$
$v=\text{ final velocity หรือ ความเร็วสุดท้าย(ที่สนใจ)}$
$a=\text{ constant acceleration หรือ ความเร่งคงที่}$

การใช้แผนภาพช่วยในการคำนวณ

รูปที่ 1 วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่

สมมุติว่าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ เมื่อนำมาสร้างเป็นแผนภาพจะได้ดังรูปที่ 1
$$\text{พื้นที่ใต้กราฟ}=(v-<!--\; -\; -->0)\times <!--\; \times \; -->(t-<!--\; -\; -->0)$$
เราทราบว่า
$$s=vt$$
แสดงว่าพื้นที่ใต้กราฟระหว่าง velocity กับ time คือ การขจัดหรือระยะที่เคลื่อนที่ได้ (displacement)
ในกรณีที่มีการเปลี่ยนแปลงความเร็วหรือเมื่อมีความเร่งจะได้แผนภาพดังรูปที่ 2

รูปที่ 2 วัตถุเคลื่อนที่เมื่อมีการเปลี่ยนความเร็ว

เราก็ยังคงใช้หลักคิดนี้ได้เช่นกัน โดยที่ขนาดของระยะทางที่เคลื่อนที่ได้คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยม (1) รวมกับ สามเหลี่ยน (2)


สมการที่ 1
$$\mathrm{△<!--\; △\; -->}s=\frac{(v_0+v)}{2}\mathrm{△<!--\; △\; -->}t$$

รูปที่ 3

จะใช้หลักการหาพื้นที่จากแผนภาพมาช่วยแสดงการได้มาซึ่งสมการนี้ เนื่องจากเบื้องต้นนี้เราจะสนใจในกรณีที่วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ดังนั้นกราฟที่ได้ควรจะเป็นดังรูปที่ 3  เราสามารถหาขนาดของการขจัดได้จากการรวมพืันที่ของสี่เหลี่ยม 1 กับสามเหลี่ยม 2
$$\mathrm{△<!--\; △\; -->}s=v_{0}t+\frac{1}{2}t(v-<!--\; -\; -->v_0)$$ $$\mathrm{△<!--\; △\; -->}s=v_{0}t+\frac{1}{2}vt-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{v}_{0}t$$ $$\mathrm{△<!--\; △\; -->}s=\frac{1}{2}vt+\frac{1}{2}{v}_{0}t$$ $$\mathrm{△<!--\; △\; -->}s=\frac{(v+v_0)}{2}t$$

** สมการนี้ใช้ได้เมื่อเราไม่ทราบขนาดของความเร่ง**

สมการที่ 2
$$v=v_0+at$$
เราทราบว่าเราสามารถคำนวณขนาดของความเร่งได้จากผลต่างของขนาดของความเร็วต่อเวลา
$$a=\frac{\mathrm{△<!--\; △\; -->}v}{\mathrm{△<!--\; △\; -->}t}$$

**ต้องไม่ลืมว่าเรากำลังอยู่ภายใต้เงื่อนไขว่าค่าความเร่งคงที่**

$$a=\frac{v-<!--\; -\; -->v_0}{\mathrm{△<!--\; △\; -->}t}$$ $$a\mathrm{△<!--\; △\; -->}t+v_0=v$$

สมการที่ 3
$$\mathrm{△<!--\; △\; -->}s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$$
พิจารณารูปที่ 3 และสมการที่ 1 ได้ว่า
$$\mathrm{△<!--\; △\; -->}s=v_{0}t+\frac{1}{2}(v-<!--\; -\; -->v_0)t$$
เราทราบว่า   $at=v-<!--\; -\; -->v_0$เมื่อแทนเข้าไปในสมการ จะได้
$$\mathrm{△<!--\; △\; -->}s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$$

** สมการนี้ใช้ได้เมื่อเราไม่ทราบขนาดของความเร็วสุดท้ายแต่ทราบค่าความเร่ง **

สมการที่ 4
$$v^2=v_0^2+2a\mathrm{△<!--\; △\; -->}s$$
เราทราบว่า
$$a=\frac{v-<!--\; -\; -->v_0}{t}$$ $$t=\frac{v-<!--\; -\; -->v_0}{a}$$
แทนค่า t ในสมการที่ 1
$$\mathrm{△<!--\; △\; -->}s=(\frac{v+v_0}{2})(\frac{v-<!--\; -\; -->v_0}{a})$$ $$2a\mathrm{△<!--\; △\; -->}s=v^2+v{v}_0-<!--\; -\; -->v{v}_0-v_0^2$$ $$v_0^2+2a\mathrm{△<!--\; △\; -->}s=v^2$$

---

เอกสารอ้างอิง
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Equations_of_motion
[2] http://physicstube.co.nz/year-12/y12-mechanics/kinematic-equations-derived-video/
[3] http://zonalandeducation.com/mstm/physics/mechanics/kinematics/EquationsForAcceleratedMotion/Origins/Displacement/Origin.htm