Probability : Dependency , Joint probability

Dependence of events

เหตุการณ์เป็นอิสระต่อกันหมายถึง การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่กำลังสนใจ ไม่ได้มีผลจากเหตุการณ์อื่นที่เกิดขึ้นก่อนหน้า เช่น

เวลาพระอาทิตย์ขึ้นที่ดาวอังคารไม่ได้ขึ้นกับเวลาพระอาทิตย์ขึ้นบนโลก
การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 2 ครั้ง การออกหน้าใดหน้าหนึ่งของการโยนเหรียญไม่ได้ขึ้นต่อกัน
ฯล

สำหรับเหตุการณ์ที่ไม่เป็นอิสระต่อกันก็จะตรงกันข้าม

นิยาม

ให้ A, B แทนสองเหตุการณ์ใดๆ

ถ้า $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ แล้ว A และ B independent

ถ้า $P (A \cap B) \neq P (A) \cdot P (B)$ แล้ว A และ B dependent

ตัวอย่างที่ 1 ทอดลูกเต๋า 2 ลูก หนึ่งครั้ง

A แทนเหตุการณ์ลูกเต๋าลูกแรกออกหน้า 1

B แทนเหตุการณ์ลูกเต๋าลูกที่สองออกหน้าที่มากกว่าลูกแรก

C แทนเหตุการณ์ลูกเต๋าทั้งสองออกหน้าเดียวกัน

หา Sample space ของหน้าลูกเต๋า

$S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}$

$\begin{aligned} P (A) & = \frac{6}{36} \\ P (B) & = \frac{15}{36} \\ P (C) & = \frac{6}{36} \\ P (A) \cdot P (B) & = \frac{6}{36} \times \frac{15}{36} = \frac{5}{72} \\ P (A) \cdot P (C) & = \frac{6}{36} \times \frac{6}{36} = \frac{1}{36} \\ P (B) \cdot P (C) & = \frac{15}{36} \times \frac{6}{36} = \frac{5}{72} \\ P (A \cap B) & = \frac{5}{36} \\ P (A \cap C) & = \frac{1}{36} \\ P (B \cap C) & = 0.0 \end{aligned}$

นำค่าความน่าจะเป็นไปเทียบกับนิยามข้างต้น จะสรุปได้ว่า

เหตุการณ์ A และ C เป็นอิสระต่อกัน

เหตุการณ์ A และ B ไม่เป็นอิสระต่อกัน

เหตุการณ์ B และ C ไม่เกิดร่วมกัน (mutually exclusive))

ตัวอย่างที่ 2

ถ้าผลการตรวจหาโรคชนิดหนึ่งทางห้องปฏิบัติการให้ผล True Positive (ป่วยจริงและผลตรวจเป็นบวก) คือ 92% แต่ผลการตรวจจะเป็นที่ยอมรับก็ต่อเมื่อมีการตรวจซ้ำด้วยวิธีการเดียวกันจากห้องปฏิบัติการ 2 แห่ง หาความน่าจะเป็นที่ผู้ที่ติดเชื้อจริงได้ผลตรวจเป็นบวกจากทั้งสองห้องปฏิบัติการ และความน่าจะเป็นที่ได้ผลบวกจากห้องปฏิบัติอย่างน้อย 1 แห่ง

กำหนดให้

X แทนเหตุการณ์ได้ผลตรวจเป็นบวกจากห้องปฏิบัติการแรก

Y แทนเหตุการณ์ได้ผลตรวจเป็นบวกจากห้องปฏิบัติการที่สอง

ด้วยสามัญสำนึก ผลการตรวจจากแต่ละห้องปฏิบัติการควรเป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นจะได้ว่า

$P (X) = P (Y) = 0.98$

ความน่าจะเป็นที่ผลการตรวจเป็นบวกทั้งสองห้องปฏิบัติการ

$\begin{aligned} P (X \cap Y) & = P (X) \cdot P (Y) \\ P (X \cap Y) & = 0.98 \times 0.98 = 0.9604 \end{aligned}$

ความน่าจะเป็นที่ผลการตรวจเป็นบวกอย่างน้อยหนึ่งห้องปฏิบัติการ

$\begin{aligned} P (X \cup Y) & = P (X) + P (Y) - P (X \cap Y) \\ P (X \cup Y) & = 0.98 + 0.98 - 0.9604 = 0.99 \end{aligned}$

Independence ในมุมมองของ conditional probability

ถ้า A,B เป็นอิสระต่อกันแล้ว

$\begin{aligned} P (A \cap B) & = P (A) \cdot P (B) \\ (1.0) & P (A) & = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} \end{aligned}$

จาก conditional probability

$\begin{matrix} (1.1) & P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} \end{matrix}$

จาก (1.0) และ (1.1) สรุปได้ว่า ถ้า A และ B เป็นอิสระต่อกันแล้ว จะได้

$\begin{matrix} (1.2) & ∴ P (A) = P (A ∣ B) \end{matrix}$

Joint probability

ถ้าเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกันเกิดขึ้นพร้อมกันมากกว่า 1 เหตุการณ์ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์เหล่านี้จะเกิดขึ้นพร้อมกันเรียกว่า joint probability [3] ซึ่งใช้การคำนวณเช่นเดียวกับการคำนวณหาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน

กลับไปพิจารณาตัวอย่างที่ 1 เหตุการณ์ A และ C เป็นอิสระต่อกัน และ joint probability ของ A,C คือ

\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}

ระวังสับสนความหมายกันระหว่าง conditional probability กับ joint probability ทั้งสองกล่าวถึงคนละกรณีกัน แม้บางครั้งค่าความน่าจะเป็นอาจมีค่าเท่ากัน conditional probability สนใจความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สองเมื่อเหตุการณ์แรกเกิดขึ้นแล้ว ในขณะที่ joint probability มองไปที่การเกิดขึ้นพร้อมกันของเหตุการณ์ ยกตัวอย่างเหตุการณ์ A และ C จากตัวอย่างที่ 1 เราทราว่า

P (A \cap C) = \frac{1}{36}

ถ้าคิดในรูปของ conditional probability กรณี ถ้าลูกเต๋าหงายหน้าเดียวกัน (เหตุการณ์ C) ความน่าจะเป็นของที่ลูกเต๋าลูกแรกหงายหน้า 1 (เหตุการณ์ A)

$\begin{aligned} P (A ∣ C) & = \frac{P (A) \cdot P (C ∣ A)}{P (C)} \\ P (A ∣ C) & = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}}{\frac{1}{6}} \\ P (A ∣ C) & = \frac{1}{6} \end{aligned}$