Dependence of events
เหตุการณ์เป็นอิสระต่อกันหมายถึง การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่กำลังสนใจ ไม่ได้มีผลจากเหตุการณ์อื่นที่เกิดขึ้นก่อนหน้า เช่น
- เวลาพระอาทิตย์ขึ้นที่ดาวอังคารไม่ได้ขึ้นกับเวลาพระอาทิตย์ขึ้นบนโลก
- การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 2 ครั้ง การออกหน้าใดหน้าหนึ่งของการโยนเหรียญไม่ได้ขึ้นต่อกัน
- ฯล
สำหรับเหตุการณ์ที่ไม่เป็นอิสระต่อกันก็จะตรงกันข้าม
นิยาม
ให้ A, B แทนสองเหตุการณ์ใดๆ
ถ้า \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \) แล้ว A และ B independent
ถ้า \( P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) \) แล้ว A และ B dependent
ตัวอย่างที่ 1 ทอดลูกเต๋า 2 ลูก หนึ่งครั้ง
A แทนเหตุการณ์ลูกเต๋าลูกแรกออกหน้า 1
B แทนเหตุการณ์ลูกเต๋าลูกที่สองออกหน้าที่มากกว่าลูกแรก
C แทนเหตุการณ์ลูกเต๋าทั้งสองออกหน้าเดียวกัน
หา Sample space ของหน้าลูกเต๋า
\[ S = \{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), \\(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),\\(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),\\(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \} \]
\[\begin{align*} P(A) &= \frac{6}{36} \\ P(B) &= \frac{15}{36} \\ P(C) &= \frac{6}{36} \\ \\ P(A) \cdot P(B) &= \frac{6}{36} \times \frac{15}{36} = \frac{5}{72} \\ P(A) \cdot P(C) &= \frac{6}{36} \times \frac{6}{36} = \frac{1}{36} \\ P(B) \cdot P(C) &= \frac{15}{36} \times \frac{6}{36} = \frac{5}{72} \\ \\ P(A \cap B) &= \frac{5}{36} \\ P(A \cap C) &= \frac{1}{36} \\ P(B \cap C) &= 0.0 \\ \\ \end{align*} \]
นำค่าความน่าจะเป็นไปเทียบกับนิยามข้างต้น จะสรุปได้ว่า
เหตุการณ์ A และ C เป็นอิสระต่อกัน
เหตุการณ์ A และ B ไม่เป็นอิสระต่อกัน
เหตุการณ์ B และ C ไม่เกิดร่วมกัน (mutually exclusive))
ตัวอย่างที่ 2
ถ้าผลการตรวจหาโรคชนิดหนึ่งทางห้องปฏิบัติการให้ผล True Positive (ป่วยจริงและผลตรวจเป็นบวก) คือ 92% แต่ผลการตรวจจะเป็นที่ยอมรับก็ต่อเมื่อมีการตรวจซ้ำด้วยวิธีการเดียวกันจากห้องปฏิบัติการ 2 แห่ง หาความน่าจะเป็นที่ผู้ที่ติดเชื้อจริงได้ผลตรวจเป็นบวกจากทั้งสองห้องปฏิบัติการ และความน่าจะเป็นที่ได้ผลบวกจากห้องปฏิบัติอย่างน้อย 1 แห่ง
กำหนดให้
X แทนเหตุการณ์ได้ผลตรวจเป็นบวกจากห้องปฏิบัติการแรก
Y แทนเหตุการณ์ได้ผลตรวจเป็นบวกจากห้องปฏิบัติการที่สอง
ด้วยสามัญสำนึก ผลการตรวจจากแต่ละห้องปฏิบัติการควรเป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นจะได้ว่า
\[ P(X) = P(Y) = 0.98 \]
ความน่าจะเป็นที่ผลการตรวจเป็นบวกทั้งสองห้องปฏิบัติการ
\[ \begin{align*} P(X \cap Y) &= P(X) \cdot P(Y) \\ P(X \cap Y) &= 0.98 \times 0.98 = 0.9604 \\ \end{align*} \]
ความน่าจะเป็นที่ผลการตรวจเป็นบวกอย่างน้อยหนึ่งห้องปฏิบัติการ
\[ \begin{align*} P(X \cup Y) &= P(X) + P(Y) - P(X \cap Y) \\ P(X \cup Y) &= 0.98 + 0.98 - 0.9604 = 0.99 \\ \end{align*} \]
Independence ในมุมมองของ conditional probability
ถ้า A,B เป็นอิสระต่อกันแล้ว
\[ \begin{align*} P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B) \\ P(A) &= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \tag{1.0}\\ \end{align*} \]
จาก conditional probability
\[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \tag{1.1} \]
จาก (1.0) และ (1.1) สรุปได้ว่า ถ้า A และ B เป็นอิสระต่อกันแล้ว จะได้
\[ \boxed{ \therefore P(A) = P(A \mid B) }\tag{1.2} \]
:
\[ \begin{align*} P(A \mid C) &= \frac{P(A) \cdot P(C \mid A)}{P(C)} \\ P(A \mid C) &= \frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}}{\frac{1}{6}} \\ P(A \mid C) &= \frac{1}{6} \end{align*} \]
เอกสารอ้างอิง
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Independence_(probability_theory)#For_events
[2] https://smarter-machine.blogspot.com/2020/09/probability-conditional-probability.html
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Joint_probability_distribution#Coin_flips
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น