Probability : Discrete Random Variable

Recap:

Random variable คือ function $X$ ที่โยงจากเซตของ sample space (S) ไปยังเซตของจำนวนจริง $\mathrm{\Re }$

$$X:S\to \mathrm{\Re }$$

หัวข้อ

  ♦ The probability distribution

  ♦ Cumulative distribution function

  ♦ Expectation value

  ♦ Variance

  ♦ The Bernoulli random variable

  ♦ The Binomial random variable

The probability distribution

เนื้อหาในส่วนนี้จะกล่าวถึง Probability Distribution ซึ่งเป็นเรื่องสำคัญเรื่องหนึ่งที่โยงกับ random variable พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

สมมุติบริษัท ABC ทำการสุ่มตรวจวัสถุดิบที่กำลังจะซื้อเพื่อตรวจสอบ ผลการตรวจจะมี 2 ทางคือ ผ่าน (P) กับ ไม่ผ่าน (F) ในการตรวจสอบ ใช้การสุ่มเลือกวัตถุดิบออกมา 100 ชิ้น แบ่งเป็น 10 ชุด (batches) ชุดละ 10 ชิ้น และทำการตรวจสอบทุกชิ้น ได้ผลดังตาราง

Batches	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Number of defective	0	0	1	0	2	2	1	3	2	0

ให้ $X$ แทนจำนวน defectives ที่พบได้ในแต่ละ batch จะได้ X คือ random variable ที่มีค่าที่เป็นไปได้คือ $\{0,1,2,3\}$ เมื่อทำการแจกแจงความถี่ของ X จะได้

X	frequency
0	4
1	2
2	3
3	1
รวม	10

กำหนดให้ $p(0)$ คือ ความน่าจะเป็นของ X เมื่อ X มีค่าเท่ากับ 0 คำนวณค่าของ $p(0)=p(\text{X มีค่าเป็น 0})=\frac{4}{10}=0.4$

ทำนองเดียวกัน เราจะได้ $$\begin{array}{rl}p(1)& =\frac{2}{10}=0.2\\ p(2)& =\frac{3}{10}=0.3\\ p(3)& =\frac{1}{10}=0.1\end{array}$$

สามารถเขียน $p(x)$ อีกรูปแบบคือ $P(X=x)$ เช่น

$p(0)\text{ เขียนเป็น }P(X=0)$

$p(10)\text{ เขียนเป็น }P(X=10)$

ที่ $p(0)=0.4$ หมายถึง ความค่าจะเป็นหรือโอกาสที่ X จะมีค่าเป็น 0 คือ 0.4 หรือ 0.4 จะถูกแจก (distributed) ให้กับ $X$ เมื่อ $X=0$

สิ่งที่คำนวณได้ทำให้เราทราบค่าความน่าจะเป็นของ $X$ เมื่อค่าเปลี่ยนไป เรียกว่า Probability Distribution หรืออีกความหมายหนึ่ง probability distribution ทำหน้าที่เป็นฟังก์ชั่นที่มี domain เป็นเซตของค่า random variable และ range คือเซตของจำนวนจริงที่อยู่ระหว่าง 0.0 - 1.0 ดังนั้น probability distribution อาจถูกเรียกว่า probability mass function (PMF) ก็ได้

Probability distribution อาจเรียกเป็น Probability Mass Function (PMF)

ลองนำเอาตัวเลข probability distribution ของ $X$ มา plot กราฟดูจะได้ดังรูปที่ 1 จะเห็นว่ามีรูปแบบที่ไม่ต่อเนื่อง เรียก distribution แบบนี้ว่า discrete probability distribution หากพิจารณาดูจากค่าของ random variable $X$ก็มีลักษณะเป็นเลขโดด ไม่ต่อเนื่อง เช่นกัน ทำนองเดียวกันหาก $X$ มีลักษณะเป็นแบบต่อเนื่อง continuous random variable การแจกแจงก็จะออกมาเป็นแบบ continuous ด้วยเช่นกัน

รูปที่ 1

ผลรวมของค่าความน่าจะเป็นใน probability distribution มีค่าเป็น 1.0

Cumulative distribution function (CDF)

Cumulative distribution function เป็นวิธีการพรรณาถึง probability distribution เหมือนกับ PMF ต่างกันตรงที่ CDF ใช้ค่าความน่าจะเป็นสะสมของค่าที่เป็นช่วงของ $X$

Cumulative distribution function (CDF) ของ random variable $X$

$$F(X)=P(X⩽x)=\sum _{k⩽x}p(k)$$

ตัวอย่าง ให้ $X$ เป็น discrete random variable ที่มี PMF เป็นดังนี้

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}0.1,& x=2\\ 0.2,& x=4\\ 0.3,& x=5\\ 0.2,& x=8\\ 0.1,& x=10\\ 0,& \text{ otherwise}\end{array}$$

a) หา $P(X⩽5)$

ปัญหานี้เป็นการหาความน่าจะเป็นรวมเมื่อค่าของ $X⩽5$ (หรือมีค่าเป็น 2,4และ 5) ซึ่งมีค่าเป็น $0.1+0.2+0.3=0.6$

b) หา $P(1.5<X<7.5)$

ปัญหานี้เป็นการหาความน่าจะเป็นรวมเมื่อค่าของ $X$ อยู่ระหว่าง 1.5 กับ 7.5 ซึ่งมีค่าเป็น $0.1+0.2+0.3=0.6$

The expectation value (mean value)

สมมุติว่าในสถาบันการศึกษาแห่งหนึ่ง มีการสำรวจ โดยให้ $X$ เป็น random variable แทนจำนวนวิชาที่นักศึกษาแต่ละคนได้ลงทะเบียนเรียน ได้ผลการสำรวจดังนี้

X	1	2	3	4	5	6	7	รวม
จำนวนนักศึกษา	150	450	1,950	3,750	5,850	2,550	300	15,000
$p(x)$	0.01	0.03	0.13	0.25	0.39	0.17	0.02	1.0

ถ้าต้องการทราบค่าของจำนวนวิชาที่ลงทะเบียนต่อนักศึกษา (จำนวนวิชาที่นึกศึกษาลงทะเบียนโดยเฉลี่ย) ต้องหาให้ได้ว่ามีจำนวนวิชาที่ถูกนักศึกษาลงทะเบียนมีทั้งหมดกี่วิชาแล้วนำมาหารด้วยจำนวนนักศึกษาที่ใช้สำรวจครั้งนี้ ดังนี้

$$\begin{array}{rl}\text{จำนวนวิชาต่อนักศึกษา}& =\frac{(1\times 150)+(2\times 450)+(3\times 1950)+(4\times 3750)+(5\times 5850)+(6\times 2550)+(7\times 300)}{15000}\\ \\ \text{(1.0)}& & =\frac{1\times 150}{15000}+\frac{2\times 450}{15000}+\frac{3\times 1950}{15000}+\frac{4\times 3750}{15000}+\frac{5\times 5850}{15000}+\frac{6\times 2550}{15000}+\frac{7\times 300}{15000}\end{array}$$

จาก (1) ขอให้สังเกตุว่า $\frac{150}{15000},\frac{450}{15000},\frac{1950}{15000},\frac{3750}{15000},\frac{5850}{15000},\frac{2550}{15000},\frac{300}{15000}$ คือการหา probability หรือ $p(x)$ และ 1,2,3,4,5,6,7 คือค่าของ random variable $X$ ดังนั้นเราจึงสามารถเขียน (1.0) ใหม่ได้เป็น

$$\begin{array}{}\text{(1.1)}& \text{จำนวนวิชาต่อนักศึกษา}& =(1\times p(1))+(2\times p(2))+(3\times p(3))+(4\times p(4))+(5\times p(5))+(6\times p(6))+(7\times p(7))\text{(1.2)}& & =(1\times 0.01)+(2\times 0.03)+(3\times 0.13)+(4\times 0.25)+(5\times 0.39)+(6\times 0.17)+(7\times 0.02)\end{array}$$

จาก (1.1) นำไปสู่ข้อสรุปว่าการคำนวณหาค่าเฉลี่ยของ random variable เมื่อทราบ probability distribution สามารถหาได้จาก

$$\begin{array}{}\text{(2.0)}& E(X)=\sum _{x\in D}xp(x)\end{array}$$

เมื่อ

D คือเซตของค่าที่เป็นไปได้ของ random variable X

$E(X)$ คือค่าฉลี่ย (expectation value) ของ random variable $X$

$x$ คือ ค่าของ random variable $X$

$p(x)$ คือ probability ของ $x$

$E(X)$ สามารถเขียนแทนด้วย $\mu$

ตัวอย่าง ทารกแรกคลอดจะมีการประเมินสภาพเรียกว่า Apgar scale (score) ผลการประเมินจะถูกเทียบเป็นตัวเลข 0,1,2,3,...,10 ถ้าในการทดลองครั้งหนึ่ง สุ่มเลือก Apgar scale จากทารกกลุ่มหนึ่ง ถ้าให้ random variable $X$ แทน Apgar scale ได้ proability distribution ดังตาราง

Apgar scale (X)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$p(x)$	0.002	0.001	0.002	0.005	0.02	0.04	0.18	0.37	0.25	0.12	0.01

ค่า expectation value ของ Apgar scale หาได้จาก

$$\begin{array}{rl}E(X)& =\sum xp(x)\\ & =0\times 0.002+1\times 0.001+2\times 0.002+3\times 0.005+4\times 0.02+5\times 0.04+6\times 0.18+7\times 0.37+8\times 0.25+9\times 0.12+10\times 0.01\\ & =7.15\end{array}$$

เพื่อให้เข้าใจเรื่องค่า expectation ง่ายขึ้น ลองจินตนาการถึงการพยายามเลี้ยง (balancing) แท่งไม้ด้วยนิ้วมือ จุดที่ท่อนไม้อยู่นิ่งโดยไม่ตกนั่นคือจุดที่เรียกว่า center of gravity ซึ่งอาจจะไม่ใช่ตำแหน่งตรงกลางของแท่งไม้ก็ได้ ขึ้นกับการกระจายตัว (distribution)ของน้ำหนักตลอดแท่งไม้นั้น ค่า expectation ทำหน้าที่เหมือนกับ center of gravity ทำให้น้ำหนักทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน

The variance

พิจารณา PMF ของ random variable X,Y

$$\begin{array}{rl}P(X)& =\{\begin{array}{ll}0.20,& x=-100\\ 0.30,& x=-10\\ 0.30,& x=10\\ 0.20,& x=100\end{array}\\ \\ P(Y)& =\{\begin{array}{ll}1.0,& y=0\\ 0.0,& otherwise\end{array}\end{array}$$

คำนวณหาค่า expectation ของทั้ง $X,Y$ จะมีค่าเท่ากันคือ 0.0 แต่หากสังเกตุดูจะพบว่าค่าที่เป็นไปได้ของ $X$ มีการกระจายตัวมากกว่า $Y$ แม้จะมีค่า expectation เท่ากันก็ตาม หมายความว่าค่า expectation ไม่สามารถบอกถึงลักษณะของการกระจายตัวของค่าที่เป็นไปได้ของ random variable ซึ่งทำให้เห็นภาพความต่างระหว่าง $X$ กับ $Y$ ได้ จึงต้องมีค่าสถิติอีกตัวเพื่อใช้บอกคุณสมบัติดังกล่าวเรียกว่า variance

ค่า variance ของ random variable $X$ ที่มีค่า expectation $\mu$ คือ

$$\begin{array}{r}\text{(3.0)}& {\sigma }^2=Var(X)& =E[(X-\mu {)}^2]\\ \text{(3.1)}& {\sigma }^2=Var(X)& =\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^{2}p(x_i)\end{array}$$

บางครั้งจะพบการคำนวณหาค่า variance จากสูตรข้างล่าง ซึ่งจะใช้ในกรณีที่ไม่ทราบ PMF แต่ทราบค่าของ $X$

$${\sigma }^2=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})}{N}$$

จากนิยาม 3.0,3.1 จะเห็นว่า variance คือค่า expectation หรือค่าเฉลี่ยของ $(X-\mu {)}^2$ และค่า $(X-\mu )$ ก็คือระยะทางระหว่างค่าของ $X$ กับ $\mu$ ดังนั้น อาจกล่าวได้ว่า variance คือ ค่าเฉลี่ยของกำลังสองของระยะทางระหว่าง $X$ กับ $\mu$ อธิบายว่าทำไม variance จึงบอกถึงการกระจายตัวของ $X$ ได้

Variance คือ ค่าเฉลี่ยของกำลังสองของระยะทางระหว่าง $X$ กับ $\mu$

กลับไปคำนวณค่า variance ของ $X,Y$

$$\begin{array}{rl}Var(X)& =(-100-0{)}^2(0.2)+(-10-0{)}^2(0.3)+(10-0{)}^2(0.3)+(100-0{)}^2(0.2)\\ Var(X)& =4060\\ \\ Var(Y)& =0\end{array}$$

ค่า variance บอกเราว่า random variable $X$ มีการกระจายตัวมากกว่า random variable $Y$ (Var(Y) มีค่าเป็น 0 เพราะค่าของ y จะมีเพียงค่าเดียวคือ 0 ดังนั้นจะไม่มีการกระจายตัว)

ค่าของ variance มักเป็นตัวเลขที่สูง ดังนั้นจึงมีการใช้ค่าสถิติอีกค่าหนึ่งคือ standard deviation (SD) โดยที่

$$SD=\sqrt{{\sigma }^2}$$

ตัวอย่าง discrete random variable ที่มีความสำคัญ

The Bernoulli random variable

กลับไปดูตัวอย่างกรณีบริษัท ABC อีกครั้ง ก่อนหน้านี้ $\{0,1,2,3\}$ คือค่าของ random variable หากนิยาม random variable ใหม่เป็นว่า ถ้าตรวจสอบแล้วพบว่าวัตถุดิบชิ้นใดไม่ผ่าน ค่าของ random variable จะเป็น 0 หากผ่านจะมีค่าเป็น 1 ค่าที่เป็นไปได้ของ random variable จะมีได้เพียง 2 ค่าคือ $\{0,1\}$ เรียก random variable แบบนี้ว่า Bernoulli random variable

$$Y=\{\begin{array}{ll}0,& \text{ if fail}\\ 1,& \text{ if pass}\end{array}$$

การหา PMF : กำหนดให้ $p$ เป็นค่าความน่าจะเป็นเมื่อ $Y=1$ ตาม Complement rule แล้วจะได้ $1-p$ คือค่าความน่าจะเป็นเมื่อ $Y=0$

$$p(y)=P(Y=y)=\{\begin{array}{ll}p,& \text{when y = 1}\\ 1-p,& \text{when y = 0}\end{array}$$

ข้อมูลจากบริษัท ABC ทราบว่ามี defectives จำนวน 10 ชิ้น จากจำนวนที่นำมาทดสอบทั้งหมด 100 ชิ้น ดังนั้นที่เหลือ 90 ชิ้นเป็นชิ้นที่ใช้ได้ คำนวณ PMF ของผลการทดสอบในกรณีใช้ Bernoulli random variable จะได้

$$p(y)=\{\begin{array}{ll}0.9,& \text{ผ่านการทดสอบ}\\ 0.1,& \text{ไม่ผ่านการทดสอบ}\end{array}$$

Bernoulli randomvariable เป็น discrete random variable ที่มีความสำคัญพบได้บ่อย เช่น

 ♦ การวินิจฉัยโรคว่า "ป่วย" หรือ "ไม่ป่วย" ภายใต้อาการที่ตรวจพบ

 ♦ การทำประชาวิจารณ์ว่า "รับ" หรือ "ไม่รับ"

 ♦ การสำรวจข่ายงานจราจร "ว่าง" หรือ "ไม่ว่าง"

 ♦ ฯลฯ

Bernoulli random variable มีค่าได้เพียง $\{0,1\}$ มี PMF เป็น $$p(y)=P(Y=y)=\{\begin{array}{ll}p,& \text{when y = 1}\\ 1-p,& \text{when y = 0}\end{array}$$

ตัวอย่าง การตรวจสอบเครื่องจักร ถ้ากำหนดให้ X จะมีค่าเป็น 0 เมื่อพบว่าอะหลั่ยของเครื่องจักรต้องการการซ่อมบำรุง ในทางตรงข้ามมีค่าเป็น 1 ในกรณีนี้ X คือ Bernoulli random variable ถ้ากำหนดให้ $P(X=1)=p$ จะได้ $P(X=0)=1-p$ การคำนวณหา expectation value ของ random variable X จะได้

$$\begin{array}{rl}E(X)& =(1)p+(0)(1-p)\\ & =p+0\\ & =p\end{array}$$

นั่นคือ expectation value ของ Bernoulli random varible มีค่าเป็น $p$

Expectation value of Bernoulli random variable มีค่าเป็น p ( $P(X=1)$)

The Binomial random variable

เป็น discrete random variable ที่มีลักษณะพิเศษดังนี้

 1. มีการกำหนดจำนวน trial ที่แน่นอน (sample size คงที่)

 2. event ที่สนใจมีสถานะได้ 2 สถานะคือ "เกิด" หรือ "ไม่เกิด"

 3. ค่าความน่าจะเป็นของการ "เกิด" หรือ "ไม่เกิด" มีค่าคงที่เท่ากันทุก trial

 4. แต่ละ trial เป็นอิสระต่อกัน

PMF หาได้จากสูตร

$$p(k)=P(X=k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,3,..,n$$

n คือ จำนวน trail และ p คือ probability ของ event ที่สนใจ

ตัวอย่างเช่น การตอบคำถามที่ให้เลือกตอบ "ถูก" หรือ "ผิด" จำนวน 50 ข้อ แบบเดาสุ่ม ให้ X คือ random variable แทนจำนวนข้อที่ใช้คำตอบ "ถูก"

 1. มีจำนวน trial คือ 50

 2. ค่าความน่าจะเป็นของการตอบ "ถูก" หรือ "ผิด" มีค่าเท่ากันทุกข้อคือ 0.5

 3. การตอบแต่ละคำถามเป็นอิสระต่อกัน

ถ้าให้ n คือจำนวน trial (จำนวนคำถาม) จะได้ n = 50

ถ้าให้ p คือ probability ของการเกิดขึ้นคำตอบ "ถูก" ของแต่ละข้อ ได้ $p=0.5$

จะได้ PMF คือ

$$\begin{array}{rl}p(0)& =\frac{50!}{0!(50-0)!}(0.5{)}^0(0.5{)}^{50-0}\\ p(1)& =\frac{50!}{1!(50-1)!}(0.5{)}^1(0.5{)}^{50-1}\\ p(2)& =\frac{50!}{2!(50-2)!}(0.5{)}^2(0.5{)}^{50-2}\\ ...\\ p(50)& =\frac{50!}{50!(50-50)!}(0.5{)}^{50}(0.5{)}^{50-50}\end{array}$$