Probability (ความน่าจะเป็น) คือการศึกษา "ความบังเอิญ" (randomness) และ "ความไม่แน่นอน" (uncirtainty) โดยการนำเสนอเครื่องมือที่ทำให้สามารถวัด "โอกาส" (chances) หรือ "แนวโน้ม" (likelihood) ของเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้น
ในชีวิตประจำวันเรามักต้องคาดการณ์กับสิ่งที่อาจเกิดขึ้นเสมอ เช่น
♦ มีนัดสัมภาษณ์งานเวลา 09:00 น. แต่ตื่นนอนตอน 08:30 น. คาดว่าโอกาสที่จะพลาดนัดมีสูง
♦ บริษัท ABC ชนะการประมูลโครงการของรัฐ คาดว่าโอกาสที่ราคาหุ้นของ ABC ในตลาดหลักทรัพย์จะมีค่าสูงขึ้นจะมีสูง
♦ วงดนตรี XYZ เคยโด่งมากในอดีต การกลับมาเปิดคอนเสิร์ตครั้งนี้ เราเชื่อว่าตั๋วน่าจะจำหน่ายหมด ไม่มีเหลือ
♦ โอกาส 50-50 ที่ฝนจะตกในบ่ายวันนี้
♦ ฯลฯ
ตัวอย่างเหตุการณ์เหล่านี้ เป็นการคาดการณ์จากประสบการณ์ของผู้สัเกตุ แต่ไม่สามารถระบุค่าเชิงตัวเลขของระดับความเชื่อเหล่านี้ได้ วิชาความน่าจะเป็นจะช่วยให้สามารถที่จะบอกค่าระดับความเชื่อเหล่านั้นได้ หรืออย่างน้อยก็ช่วยให้ประโยคที่น่าเชื่อถือมากขึ้นได้
Sample spaces และ Events
ในมุมมองด้าน probablity คำ "การทดลอง (experiment)" หมายถึงกิจกรรมหรือเหตุการณ์ที่ผลลัพธ์เกิดขึ้นแบบ randomness หรือ uncirtainty ซึ่งกินความหมายกว้าง ไม่ได้จำเพาะกับเหตุการณ์ที่ต้องมีการวางแผนหรือเกิดในห้องปฏิบัติการเท่านั้น การทดลองที่มักถูกยกมาเป็นตัวอย่างบ่อยในการศึกษาเรื่องความน่าจะเป็น ได้แก่ การโยนเหรียญ การทอดลูกเต๋า หรือการเลือกไพ่ แต่ยังมีเหตุการณ์อื่นๆอีกมากที่เข้าค่ายเรียกว่าการทดลองได้ เช่น
♦ ปริมาณน้ำฝนรวมตลอดปี
♦ เวลาเฉลี่ยที่ใช้ในการเดินทางจากที่พักไปที่ทำงานของประชากรในกรุงเทพฯ
♦ สำรวจจำนวนผู้ติดเชื้อ Covid 19
♦ ฯลฯ
จำนวนผลลัพธ์ของ experiment ที่น้อยที่สุดคือ 2 ทางเลือก (น้อยกว่านี้ไม่ได้ เพราะไม่เป็น uncirtainty) ซึ่งมีได้หลาย experiment เช่น การโยนเหรียญ (หัว หรือ ก้อย) พยากรณ์ว่าจะมีฝนตกหรือไม่ในบ่ายวันนี้ (ตก หรือ ไม่ตก) จำนวนของผลลัพธ์อาจมากกว่านี้ในการ experiment อื่น ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ experiment เรียกว่า "Sample space"
ตัวอย่าง 1 : การทดลองโยนเหรียญ 2 ด้าน (HEAD,TAIL) 1 เหรียญ จำนวน 3 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ
| โยนครั้งที่ | ||
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| H | H | H |
| H | H | T |
| H | T | H |
| H | T | T |
| T | H | H |
| T | H | T |
| T | T | H |
| T | T | T |
หรืออาจเขียนในรูปของเซตคือ \( S = \{ (H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)\}\)
สำหรับ experiment ที่ไม่ซับซ้อน การหา sample space อาจใช้แผนภาพต้นไม้ได้ เช่น
 |
| รูปที่ 1 |
ตัวอย่าง 2 : การโยนลูกเต๋า (6 หน้า) 1 ลูก 1 ครั้ง sample space ของหน้าลูกเต๋าคือ \( S = \{ 1,2,3,4,5,6 \}\)
ตัวอย่าง 3 : การโยนลูกเต๋า (6 หน้า) 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง sample space ของหน้าลูกเต๋าคือ \( S = \begin{equation} \begin{Bmatrix} (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),\\ (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),\\ (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),\\ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \end{Bmatrix} \end{equation} \)
สามารถใช้ความรู้เรื่อง counting principle มาใช้คำนวณหาจำนวนสมาชิกของ sample space เซตได้
ในบางครั้งอาจไม่จำเป็นต้องใช้ทุกผลลัพธ์ใน sample space ต้องการเพียงบางส่วน (subset) ผลลัพธ์ที่ถูกหยิบออกมาจาก sample space เรียกว่า event
ตัวอย่าง 4 : รถยนต์เมื่อมาถึงสี่แยก ทิศทางที่รถจะไปต่อมีได้ 3 ทางคือ เลี้ยวซ้าย (L) เลี้ยวขวา (R) และไปตรง (S) ถ้ามีการทดลองโดยการสังเกตุรถยนต์จำนวน 2 คัน sample space จะเป็น
| รถยนต์คันที่ | |
|---|---|
| 1 | 2 |
| R | R |
| R | L |
| R | S |
| L | R |
| L | L |
| L | S |
| S | R |
| S | L |
| S | S |
จากตารางแสดง sample space ของการทดลองนี้ แต่ละแถว (บรรทัด) คือแต่ละ simple event
♦ ถ้ากำหนดให้ \(E_1 = \{ (R,R) \} \) แล้วก็จะเรียก \( E_1 \) ว่าเป็น simple event
♦ ถ้ากำหนดว่าต้องการ event ของการมีรถยนต์อย่างน้อย 1 คันเลี้ยวขวา สามารถเขียนได้ดังนี้ \(C_1 = \{ (R,R),(R,L),(L,R)\} \) และจะได้ว่า \(C_1 \) เป็น compound event
♦ เมื่อทำการสังเกตุเหตุการณ์ ปรากฎว่ารถยนต์ทั้งสองคันไปตรง นั่นคือทั่้ง \(E_1,C_1 \) ไม่เกิดขึ้นในการสังเกตุครั้งนั้น
ความเชื่อมโยงกับทฤษฎีเซต
Event คือเซต ดังนั้นจึงสามารถนำเอา set operation มาใช้กับ events ได้ เช่น ถ้าให้ A และ B แทน 2 event ใดๆ แล้ว
♦ \( A^ \prime\) คือ events ที่อยู่ใน sample space แต่ไม่อยู่ใน A
♦ \( A \cap B \) คือ events ที่อยู่ทั้งใน A และ B ,\( A \cup B \) คือ events ที่อยู่ใน A หรือ B
♦ \( A \cup B \) คือ events ที่อยู่ใน A หรือ B
♦ \( (A \cup B)^\prime = A^\prime \cap B^\prime \)
♦ \( (A \cap B)^\prime = A^\prime \cup B^\prime \)
ตัวอย่าง 5 : ถ้า Ann และ David สมัครเข้าทำงานในบริษัทเดียวกัน ถ้ากำหนดให้ A แทน event ที่ Ann ได้รับการจ้างงาน และ B แทน event ที่ David ได้รับการจ้างงาน แล้ว
♦ event ที่ Ann ได้รับการจ้างแต่ David ไม่ได้รับการจ้าง เขียนแทนด้วย \( A \cap B^\prime \)
♦ event อย่างน้อย 1 คนได้รับการจ้าง เขียนแทนด้วย \( A \cup B \)
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น