Probability : Sample Spaces และ Events

Probability (ความน่าจะเป็น) คือการศึกษา "ความบังเอิญ" (randomness) และ "ความไม่แน่นอน" (uncirtainty) โดยการนำเสนอเครื่องมือที่ทำให้สามารถวัด "โอกาส" (chances) หรือ "แนวโน้ม" (likelihood) ของเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้น

ในชีวิตประจำวันเรามักต้องคาดการณ์กับสิ่งที่อาจเกิดขึ้นเสมอ เช่น

 ♦  มีนัดสัมภาษณ์งานเวลา 09:00 น. แต่ตื่นนอนตอน 08:30 น. คาดว่าโอกาสที่จะพลาดนัดมีสูง

 ♦  บริษัท ABC ชนะการประมูลโครงการของรัฐ คาดว่าโอกาสที่ราคาหุ้นของ ABC ในตลาดหลักทรัพย์จะมีค่าสูงขึ้นจะมีสูง

 ♦  วงดนตรี XYZ เคยโด่งมากในอดีต การกลับมาเปิดคอนเสิร์ตครั้งนี้ เราเชื่อว่าตั๋วน่าจะจำหน่ายหมด ไม่มีเหลือ

 ♦  โอกาส 50-50 ที่ฝนจะตกในบ่ายวันนี้

 ♦  ฯลฯ

ตัวอย่างเหตุการณ์เหล่านี้ เป็นการคาดการณ์จากประสบการณ์ของผู้สัเกตุ แต่ไม่สามารถระบุค่าเชิงตัวเลขของระดับความเชื่อเหล่านี้ได้ วิชาความน่าจะเป็นจะช่วยให้สามารถที่จะบอกค่าระดับความเชื่อเหล่านั้นได้ หรืออย่างน้อยก็ช่วยให้ประโยคที่น่าเชื่อถือมากขึ้นได้

Sample spaces และ Events

ในมุมมองด้าน probablity คำ "การทดลอง (experiment)" หมายถึงกิจกรรมหรือเหตุการณ์ที่ผลลัพธ์เกิดขึ้นแบบ randomness หรือ uncirtainty ซึ่งกินความหมายกว้าง ไม่ได้จำเพาะกับเหตุการณ์ที่ต้องมีการวางแผนหรือเกิดในห้องปฏิบัติการเท่านั้น การทดลองที่มักถูกยกมาเป็นตัวอย่างบ่อยในการศึกษาเรื่องความน่าจะเป็น ได้แก่ การโยนเหรียญ การทอดลูกเต๋า หรือการเลือกไพ่ แต่ยังมีเหตุการณ์อื่นๆอีกมากที่เข้าค่ายเรียกว่าการทดลองได้ เช่น

 ♦  ปริมาณน้ำฝนรวมตลอดปี

 ♦  เวลาเฉลี่ยที่ใช้ในการเดินทางจากที่พักไปที่ทำงานของประชากรในกรุงเทพฯ

 ♦  สำรวจจำนวนผู้ติดเชื้อ Covid 19

 ♦  ฯลฯ

จำนวนผลลัพธ์ของ experiment ที่น้อยที่สุดคือ 2 ทางเลือก (น้อยกว่านี้ไม่ได้ เพราะไม่เป็น uncirtainty) ซึ่งมีได้หลาย experiment เช่น การโยนเหรียญ (หัว หรือ ก้อย) พยากรณ์ว่าจะมีฝนตกหรือไม่ในบ่ายวันนี้ (ตก หรือ ไม่ตก) จำนวนของผลลัพธ์อาจมากกว่านี้ในการ experiment อื่น ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ experiment เรียกว่า "Sample space"

Sample space คือเซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ experiment เขียนแทนด้วย $S$

ตัวอย่าง 1 : การทดลองโยนเหรียญ 2 ด้าน (HEAD,TAIL) 1 เหรียญ จำนวน 3 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ

โยนครั้งที่
1	2	3
H	H	H
H	H	T
H	T	H
H	T	T
T	H	H
T	H	T
T	T	H
T	T	T

หรืออาจเขียนในรูปของเซตคือ $S=\{(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)\}$

สำหรับ experiment ที่ไม่ซับซ้อน การหา sample space อาจใช้แผนภาพต้นไม้ได้ เช่น

รูปที่ 1

ตัวอย่าง 2 : การโยนลูกเต๋า (6 หน้า) 1 ลูก 1 ครั้ง sample space ของหน้าลูกเต๋าคือ $S=\{1,2,3,4,5,6\}$

ตัวอย่าง 3 : การโยนลูกเต๋า (6 หน้า) 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง sample space ของหน้าลูกเต๋าคือ $S=\left\{\begin{array}{c}(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),\\ (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),\\ (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),\\ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}\right\}$

สามารถใช้ความรู้เรื่อง counting principle มาใช้คำนวณหาจำนวนสมาชิกของ sample space เซตได้

ในบางครั้งอาจไม่จำเป็นต้องใช้ทุกผลลัพธ์ใน sample space ต้องการเพียงบางส่วน (subset) ผลลัพธ์ที่ถูกหยิบออกมาจาก sample space เรียกว่า event

Event คือ subset ของ sample space ถ้า event ใดมีเพียงผลลัพธ์เดียวเรียก event นั้นว่า simple event ในทางตรงข้ามเรียก compound event

ตัวอย่าง 4 : รถยนต์เมื่อมาถึงสี่แยก ทิศทางที่รถจะไปต่อมีได้ 3 ทางคือ เลี้ยวซ้าย (L) เลี้ยวขวา (R) และไปตรง (S) ถ้ามีการทดลองโดยการสังเกตุรถยนต์จำนวน 2 คัน sample space จะเป็น

รถยนต์คันที่
1	2
R	R
R	L
R	S
L	R
L	L
L	S
S	R
S	L
S	S

จากตารางแสดง sample space ของการทดลองนี้ แต่ละแถว (บรรทัด) คือแต่ละ simple event

 ♦  ถ้ากำหนดให้ $E_1=\{(R,R)\}$ แล้วก็จะเรียก $E_1$ ว่าเป็น simple event

 ♦  ถ้ากำหนดว่าต้องการ event ของการมีรถยนต์อย่างน้อย 1 คันเลี้ยวขวา สามารถเขียนได้ดังนี้ $C_1=\{(R,R),(R,L),(L,R)\}$ และจะได้ว่า $C_1$ เป็น compound event

 ♦  เมื่อทำการสังเกตุเหตุการณ์ ปรากฎว่ารถยนต์ทั้งสองคันไปตรง นั่นคือทั่้ง $E_1,C_1$ ไม่เกิดขึ้นในการสังเกตุครั้งนั้น

ความเชื่อมโยงกับทฤษฎีเซต

Event คือเซต ดังนั้นจึงสามารถนำเอา set operation มาใช้กับ events ได้ เช่น ถ้าให้ A และ B แทน 2 event ใดๆ แล้ว

 ♦  $A^{\prime }$ คือ events ที่อยู่ใน sample space แต่ไม่อยู่ใน A

 ♦  $A\cap B$ คือ events ที่อยู่ทั้งใน A และ B ,$A\cup B$ คือ events ที่อยู่ใน A หรือ B

 ♦  $A\cup B$ คือ events ที่อยู่ใน A หรือ B

 ♦  $(A\cup B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cap B^{\prime }$

 ♦  $(A\cap B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cup B^{\prime }$

ตัวอย่าง 5 : ถ้า Ann และ David สมัครเข้าทำงานในบริษัทเดียวกัน ถ้ากำหนดให้ A แทน event ที่ Ann ได้รับการจ้างงาน และ B แทน event ที่ David ได้รับการจ้างงาน แล้ว

 ♦  event ที่ Ann ได้รับการจ้างแต่ David ไม่ได้รับการจ้าง เขียนแทนด้วย $A\cap B^{\prime }$

 ♦  event อย่างน้อย 1 คนได้รับการจ้าง เขียนแทนด้วย $A\cup B$