Counting principle part 1 : Addition Principle , Multiplication Principle

• Part 2
• Part 3

Addition Principle

ถ้ามีเหตุการณ์ \(A_1,A_2,A_3,...,A_n\) มีจำนวนทางเลือกที่จะเกิดขึ้นของแต่ละเหตุการณ์เป็น \(n_1,n_2,n_3,...,n_n\) จำนวนทางเลือกของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีค่าเป็น \(n_1 + n_2 + n_3 +...+n_n\)

หลักการนี้พบได้บ่อยในชีวิตประจำวัน เช่น การหาจำนวนรถทั้งหมดในอาคารจอดรถ สามารถทำได้โดยแยกนับแต่ละชั้นก่อนแล้วนำจำนวนของแต่ละชั้นมารวมกัน

ภาพที่ 1

แต่ละชั้นของอาคารเทียบได้กับ \(A_1,A_2,A_3 \) จำนวนรถยนต์ที่มาจอดในแต่ละชั้นเทียบได้กับ \( n_1,n_2,n_3\) จำนวนรถยนต์ทั้งหมดเทียบได้กับจำนวนทางเลือกทั้งหมด ซึ่งคำนวณได้เป็น \( 2 +4+3 = 9 \)

ตัวอย่าง

1. ถ้านาย A ต้องการซื้อสินค้ามาใช้งานหนึ่งอย่าง มีให้เลือกระหว่าง คอมพิวเตอร์ตั้งโต๊ะ 4 เครื่องและ Tablet 4 เครื่อง (คุณสมบัติแต่ละเครื่องต่างกัน) นาย A จะมีกี่ทางเลือกในการซื้อสินค้าครั้งนี้

สินค้ามี 2 เซตที่เป็น disjoint เซตคือ คอมพิวเตอร์ตั้งโต๊ะ และ tablet ดังนั้นคำตอบคือ \( 4 + 4 = 8\)ทางเลือก

2. ถ้าบนโต๊ะมีรายการอาหารสามกลุ่ม คือใช้เนื้อไก่ 10 อย่าง ใช้เนื้อหมู 5 อย่างและใช้เนื้อปลา 2 อย่าง ถ้าได้ต้องการตักใส่เพียง 1 อย่าง จำนวนทางเลือกในการเลือกมีกี่ทางเลือก

\( 10 + 5+2 = 17\)ทางเลือก

Multiplication Principle

ถ้ามีเหตุการณ์ \(A_1,A_2,A_3,...,A_n\) แต่ละเหตุการณ์มีทางเลือกที่จะเกิดขึ้นเป็น \(n_1,n_2,n_3,...,n_n\) จำนวนทางเลือกในการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่เรียงลำดับจาก \(A_1 \to A_2 \to A_3 \to \text{...} \to A_n\) ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีค่าเป็น \(n_1 \times n_2 \times n_3 \times...\times n_n\)

เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น อาจมองในมุมมองของการทำงานที่ต่อเนื่องกันได้ เช่น ในการทำงานเพื่อบรรลุเป้าหมายหนึ่ง สามารถแยกการทำงานออกเป็น 3 ขั้นตอน ขั้นตอนแรกมีวิธีการหรือทางเลือกในการทำได้ \(m \) ทางเลือก ขั้นตอนที่ 2 มีทางเลือกในการทำได้ \(n \) ทางเลือก และขั้นตอนที่ 3 มีทางเลือกในการทำได้ \( p \) ทางเลือก ดังนั้นในการทำงานนี้ให้สำเร็จจะมีทางเลือกทั้งหมด \( m \times n \times p \) ทางเลือก

การใช้ Tree Diagram

ในกรณีที่จำนวนทางเลือกหรือจำนวนขั้นตอนการทำงานมีไม่มากนัก การใช้ tree diagram มาช่วยในการคำนวณหาจำนวนทางเลือกทั้งหมดจะช่วยให้เข้าใจง่ายขึ้น เห็นภาพชัดเจนขึ้น ยกเอาตัวอย่างการแต่งตัว สมมุติให้ภายในกระเป๋าเดินทางของ Diane มีเสื้อ 3 ตัว กระโปรง 4 ตัวและsweater 1 ตัว Diane จะสามารถจัดชุดในการแต่งตัวได้กี่แบบ

ถ้าแบ่งลำดับการแต่งตัว (การทำงาน) ของ Diane แบ่งเป็น 2 ขั้นตอนคือ

1. เลือกเสื้อ
2. เลือกกระโปง

ตัดเอาการเลือก sweater ออกไปเพราะไม่มีทางเลือกอืน นำทางเลือที่เป็นไปได้มาเขียน Tree diagram ได้ดังนี้

ภาพที่ 2

แต่ละเส้นทาง (path) ในแผนภาพคือแต่ละทางเลือกของการแต่งตัวที่แตกต่างกันรวมทั้งหมด 12 ทางเลือก

ตัวอย่าง

1. ถ้าต้องการนำเอาตัวอักษรภาษาอังกฤษ 3 ตัวและตัวเลข 0-9 มา 4 ตัว มาจัดเรียงกันเพื่อสร้างเป็นป้ายทะเบียนรถยนต์ โดยบนป้ายทะเบียนจะมีกลุ่มของตัวอักษร 3 ตัวอยู่ทางซ้ายมือและกลุ่มของตัวเลข 4 ตัวอยู่ทางขวามือ ด้วยเงื่อนไขนี้จะสามารถสร้างป้ายทะเบียนได้กี่ป้าย ?

ใช้มุมมองที่ว่าการจัดวางตัวอักษรและตัวเลขแต่ละตัวคือขั้นตอนการทำงานที่ต่อเนื่องกัน ดังนั้นการการจัดเรียงจะประกอบด้วยงานย่อย 7 งาน งานนำตัวอักษรมาวาง 3 งานและงานนำตัวเลขมาวาง 4 งาน ตามภาพข้างล่าง

Task 1 : เลือกตัวอักษรภาษาอังกฤษมา 1 ตัวมาวางในตำแหน่งที่ 1 จะมีทางเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด 26 ทางเลือกเท่ากับจำนวนอักษรภาษาอังกฤษ

Task 2,3 : มีทางเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด 26 ทางเลือกเท่ากับ Task 1

Task 4 : เลือกตัวเลขจาก 0-9 มา 1 ตัวมาวางในตำแหน่งที่ 4 จะมีทางเลือกทั้งหมด 10 ทางเลือก

Task 5,6,7 : มีทางเลือกทั้งหมด 10 ทางเลือก เช่นเดียวกับ Task 4

ตามนิยามของ multiplication principle จำนวนทางเลือกในการทำงานทั้งหมดซึ่งมีค่าเท่ากับจำนวนแผ่นป้ายทะเบียนคือผลคูณของจำนวนทางเลือกในแต่ละ task จะได้ว่า

\[ \begin{align*} \text{จำนวนทางเลือกทั้งหมด} = 26 \times 26 \times 26 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 26^3 \times 10^4 \end{align*} \]

2. หาจำนวน functions จาก \( \mathnormal{f} : \{a,b,c,d\} \to \{3,5,7,8,9\} \)

ทบทวน : คุณสมบัติสำคัญของฟังก์ชั่นคือ สมาชิกจาก domain จะมีความสัมพันธ์กับสมาชิกของ codomain ได้เพียง 1 เดียวเท่านั้น แต่อาจมีความสัมพันธ์ซ้ำกันได้ เช่น \(a \to 5 \) และ \( c \to 5 \) สามารถเกิดขึ้นได้

การแก้ปัญหาข้อนี้สามารถใช้มุมมองเดียวกับตัวอย่างที่ 1 ได้ โดยพิจารณาสมาชิกใน domain ที่ละตัว

a สามารถเชื่อมไปยังสมาชิกใน codomain ได้ 5 ตัว

b สามารถเชื่อมไปยังสมาชิกใน codomain ได้ 5 ตัว

c,d ก็สามารถเชื่อมไปยังสมาชิกใน codomain ได้ 5 ตัวเช่นกัน

\[ \begin{align*} \text{จำนวนฟังก์ชั่นทั้งหมด} = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 \end{align*} \]

มุมมองในทางทฤษฎีเซต

การนำเอาความรู้ในเรื่องของเซตมาใช้ในการอธิบายหลักการของ addition principle และ multiplication principle สามารถเข้าใจได้ง่ายขึ้น เริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนมุมมองของ "เหตุการณ์" หรือ "การทำงาน" ไปเป็น "สมาชิก" ของเซตแทน เช่น ในตัวอย่างกระเป๋าเดินทางของ Dian ภายในมีเซต 3 เซต คือเซตของเสื้อ เซตของกระโปรงและเซตของ sweater โดยมีจำนวนสมาชิกเป็น 4,3 และ 1 ตามลำดับ

Addition principle

ถ้ามีเซต A และ B , โดย \(A \cap B = \varnothing \) แล้ว \( | A \cup B| = |A| + |B| \)

อธิบายนิยามนี้ด้วย Vein Diagram เมื่อ A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกันแล้ว จำนวนสมาชิกทั้งหมดจะได้จากการรวมจำนวนสมาชิกของ A และ B เข้าด้วยกัน

ภาพที่ 3

Multiplication principle

สิ่งที่ต้องทบทวนคือ "Cartesian Product"

ถ้ามีเซต A และ B , จะสามารถสร้างเซตใหม่ที่อยู่ในรูป \(A \times B = \{(x,y) : x \in A \land y \in B \} \)

ตัวอย่าง

ถ้า \( A = \{a,b \},B=\{2,4,5\} \) แล้ว หา \( A \times B\)

สามารถหา Cartesian product ได้จากการใช้ diagram

\( A \times B = \{(a,2),(a,4),(a,5),(b,2),(b,4),(b,5)\} \)

จากตัวอย่าง หากนับจำนวนสมาชิกของ \( A \times B \) มีค่าเท่ากับ 6 ซึ่งเท่ากับผลคูณของจำนวนสมาชิกของ A กับ B ดังนั้นเราสามารถเขียนคำจำกัดของ multiplication principle ด้วยความหมายทางเซตได้ว่า

ถ้ามีเซต A และ B แล้ว \( | A \times B| = |A| \times |B| \)

ตัวอย่าง

1. ถ้ามีเมือง 3 เมือง A,B และ C การเดินทางจากเมือง A ไป B มีเส้นทางอยู่ 4 เส้นทาง และจากเมือง B ไป C มี 3 เส้นทาง หาจำนวนเส้นทางที่แตกต่างกันในการเดินทางจาก A ไป C โดยต้องผ่าน B

การเดินทางมี 2 ขั้นตอนที่ต่อเนื่องกัน คือ \(A \to B \) และ \( B \to C \)

\(A \to B \) มีเส้นทางแตกต่างกัน 4 เส้นทาง

\(B \to C \) มีเส้นทางแตกต่างกัน 3 เส้นทาง

ใช้ multiplication principle \( \text{เส้นทางทั้งหมด} = 4 \times 3 = 12 \) เส้นทางที่ต่างกัน

2. พิจารณาคุณสมบัติของสีเทียนจำนวนหนึ่งใน 3 ด้าน คือ ความยาว,สี และขนาด (วัดจากเส้นรอบวง) พบว่าสีเทียนที่มีอยู่มีความยาวต่างกัน 3 ขนาด มีสีต่างกันอยู่ 4 สี และมีขนาดต่างกันอยู่ 2 ขนาด คำนวณหาจำนวนสีเทียนมากที่สุดที่จะเป็นไปได้

เนื่องจากสีเทียนแต่ละแท่งจะมีคุณสมบัติทั้ง 3 อยู่รวมกัน ดังนั้นจึงสามารถใช้มุมมองของ order pair (ความยาว,สี,ขนาด) เพื่อใช้แทนคุณสมบัติทั้งสามด้านได้ และเอา Cartesian product มาช่วยในการคำนวณหาคำตอบได้

กำหนดให้ A แทนเซตของความยาว จำนวนสมาชิกใน A คือ 3

กำหนดให้ B แทนเซตของสี จำนวนสมาชิกใน B คือ 4

กำหนดให้ C แทนเซตของขนาด จำนวนสมาชิกใน C คือ 2

\( |A \times B \times C | = |A| \times |B| \times |C| = 3 \times 4 \times 2 = 24 \)

จำนวนสีเทียนมีได้มากที่สุดคือ 24 แท่ง