Counting principle part 1 : Addition Principle , Multiplication Principle

• Part 2
• Part 3

Addition Principle

ถ้ามีเหตุการณ์ $A_1,A_2,A_3,...,A_n$ มีจำนวนทางเลือกที่จะเกิดขึ้นของแต่ละเหตุการณ์เป็น $n_1,n_2,n_3,...,n_n$ จำนวนทางเลือกของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีค่าเป็น $n_1+n_2+n_3+...+n_n$

หลักการนี้พบได้บ่อยในชีวิตประจำวัน เช่น การหาจำนวนรถทั้งหมดในอาคารจอดรถ สามารถทำได้โดยแยกนับแต่ละชั้นก่อนแล้วนำจำนวนของแต่ละชั้นมารวมกัน

ภาพที่ 1

แต่ละชั้นของอาคารเทียบได้กับ $A_1,A_2,A_3$ จำนวนรถยนต์ที่มาจอดในแต่ละชั้นเทียบได้กับ $n_1,n_2,n_3$ จำนวนรถยนต์ทั้งหมดเทียบได้กับจำนวนทางเลือกทั้งหมด ซึ่งคำนวณได้เป็น $2+4+3=9$

ตัวอย่าง

1. ถ้านาย A ต้องการซื้อสินค้ามาใช้งานหนึ่งอย่าง มีให้เลือกระหว่าง คอมพิวเตอร์ตั้งโต๊ะ 4 เครื่องและ Tablet 4 เครื่อง (คุณสมบัติแต่ละเครื่องต่างกัน) นาย A จะมีกี่ทางเลือกในการซื้อสินค้าครั้งนี้

สินค้ามี 2 เซตที่เป็น disjoint เซตคือ คอมพิวเตอร์ตั้งโต๊ะ และ tablet ดังนั้นคำตอบคือ $4+4=8$ทางเลือก

2. ถ้าบนโต๊ะมีรายการอาหารสามกลุ่ม คือใช้เนื้อไก่ 10 อย่าง ใช้เนื้อหมู 5 อย่างและใช้เนื้อปลา 2 อย่าง ถ้าได้ต้องการตักใส่เพียง 1 อย่าง จำนวนทางเลือกในการเลือกมีกี่ทางเลือก

$10+5+2=17$ทางเลือก

Multiplication Principle

ถ้ามีเหตุการณ์ $A_1,A_2,A_3,...,A_n$ แต่ละเหตุการณ์มีทางเลือกที่จะเกิดขึ้นเป็น $n_1,n_2,n_3,...,n_n$ จำนวนทางเลือกในการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่เรียงลำดับจาก $A_1\to A_2\to A_3\to \text{...}\to A_n$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีค่าเป็น $n_1\times n_2\times n_3\times ...\times n_n$

เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น อาจมองในมุมมองของการทำงานที่ต่อเนื่องกันได้ เช่น ในการทำงานเพื่อบรรลุเป้าหมายหนึ่ง สามารถแยกการทำงานออกเป็น 3 ขั้นตอน ขั้นตอนแรกมีวิธีการหรือทางเลือกในการทำได้ $m$ ทางเลือก ขั้นตอนที่ 2 มีทางเลือกในการทำได้ $n$ ทางเลือก และขั้นตอนที่ 3 มีทางเลือกในการทำได้ $p$ ทางเลือก ดังนั้นในการทำงานนี้ให้สำเร็จจะมีทางเลือกทั้งหมด $m\times n\times p$ ทางเลือก

การใช้ Tree Diagram

ในกรณีที่จำนวนทางเลือกหรือจำนวนขั้นตอนการทำงานมีไม่มากนัก การใช้ tree diagram มาช่วยในการคำนวณหาจำนวนทางเลือกทั้งหมดจะช่วยให้เข้าใจง่ายขึ้น เห็นภาพชัดเจนขึ้น ยกเอาตัวอย่างการแต่งตัว สมมุติให้ภายในกระเป๋าเดินทางของ Diane มีเสื้อ 3 ตัว กระโปรง 4 ตัวและsweater 1 ตัว Diane จะสามารถจัดชุดในการแต่งตัวได้กี่แบบ

ถ้าแบ่งลำดับการแต่งตัว (การทำงาน) ของ Diane แบ่งเป็น 2 ขั้นตอนคือ

1. เลือกเสื้อ
2. เลือกกระโปง

ตัดเอาการเลือก sweater ออกไปเพราะไม่มีทางเลือกอืน นำทางเลือที่เป็นไปได้มาเขียน Tree diagram ได้ดังนี้

ภาพที่ 2

แต่ละเส้นทาง (path) ในแผนภาพคือแต่ละทางเลือกของการแต่งตัวที่แตกต่างกันรวมทั้งหมด 12 ทางเลือก

ตัวอย่าง

1. ถ้าต้องการนำเอาตัวอักษรภาษาอังกฤษ 3 ตัวและตัวเลข 0-9 มา 4 ตัว มาจัดเรียงกันเพื่อสร้างเป็นป้ายทะเบียนรถยนต์ โดยบนป้ายทะเบียนจะมีกลุ่มของตัวอักษร 3 ตัวอยู่ทางซ้ายมือและกลุ่มของตัวเลข 4 ตัวอยู่ทางขวามือ ด้วยเงื่อนไขนี้จะสามารถสร้างป้ายทะเบียนได้กี่ป้าย ?

ใช้มุมมองที่ว่าการจัดวางตัวอักษรและตัวเลขแต่ละตัวคือขั้นตอนการทำงานที่ต่อเนื่องกัน ดังนั้นการการจัดเรียงจะประกอบด้วยงานย่อย 7 งาน งานนำตัวอักษรมาวาง 3 งานและงานนำตัวเลขมาวาง 4 งาน ตามภาพข้างล่าง

Task 1 : เลือกตัวอักษรภาษาอังกฤษมา 1 ตัวมาวางในตำแหน่งที่ 1 จะมีทางเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด 26 ทางเลือกเท่ากับจำนวนอักษรภาษาอังกฤษ

Task 2,3 : มีทางเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด 26 ทางเลือกเท่ากับ Task 1

Task 4 : เลือกตัวเลขจาก 0-9 มา 1 ตัวมาวางในตำแหน่งที่ 4 จะมีทางเลือกทั้งหมด 10 ทางเลือก

Task 5,6,7 : มีทางเลือกทั้งหมด 10 ทางเลือก เช่นเดียวกับ Task 4

ตามนิยามของ multiplication principle จำนวนทางเลือกในการทำงานทั้งหมดซึ่งมีค่าเท่ากับจำนวนแผ่นป้ายทะเบียนคือผลคูณของจำนวนทางเลือกในแต่ละ task จะได้ว่า

$$\begin{array}{r}\text{จำนวนทางเลือกทั้งหมด}=26\times 26\times 26\times 10\times 10\times 10\times 10={26}^3\times {10}^4\end{array}$$

2. หาจำนวน functions จาก $f:\{a,b,c,d\}\to \{3,5,7,8,9\}$

ทบทวน : คุณสมบัติสำคัญของฟังก์ชั่นคือ สมาชิกจาก domain จะมีความสัมพันธ์กับสมาชิกของ codomain ได้เพียง 1 เดียวเท่านั้น แต่อาจมีความสัมพันธ์ซ้ำกันได้ เช่น $a\to 5$ และ $c\to 5$ สามารถเกิดขึ้นได้

การแก้ปัญหาข้อนี้สามารถใช้มุมมองเดียวกับตัวอย่างที่ 1 ได้ โดยพิจารณาสมาชิกใน domain ที่ละตัว

a สามารถเชื่อมไปยังสมาชิกใน codomain ได้ 5 ตัว

b สามารถเชื่อมไปยังสมาชิกใน codomain ได้ 5 ตัว

c,d ก็สามารถเชื่อมไปยังสมาชิกใน codomain ได้ 5 ตัวเช่นกัน

$$\begin{array}{r}\text{จำนวนฟังก์ชั่นทั้งหมด}=5\times 5\times 5\times 5=5^4\end{array}$$

มุมมองในทางทฤษฎีเซต

การนำเอาความรู้ในเรื่องของเซตมาใช้ในการอธิบายหลักการของ addition principle และ multiplication principle สามารถเข้าใจได้ง่ายขึ้น เริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนมุมมองของ "เหตุการณ์" หรือ "การทำงาน" ไปเป็น "สมาชิก" ของเซตแทน เช่น ในตัวอย่างกระเป๋าเดินทางของ Dian ภายในมีเซต 3 เซต คือเซตของเสื้อ เซตของกระโปรงและเซตของ sweater โดยมีจำนวนสมาชิกเป็น 4,3 และ 1 ตามลำดับ

Addition principle

ถ้ามีเซต A และ B , โดย $A\cap B=\varnothing$ แล้ว $|A\cup B|=|A|+|B|$

อธิบายนิยามนี้ด้วย Vein Diagram เมื่อ A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกันแล้ว จำนวนสมาชิกทั้งหมดจะได้จากการรวมจำนวนสมาชิกของ A และ B เข้าด้วยกัน

ภาพที่ 3

Multiplication principle

สิ่งที่ต้องทบทวนคือ "Cartesian Product"

ถ้ามีเซต A และ B , จะสามารถสร้างเซตใหม่ที่อยู่ในรูป $A\times B=\{(x,y):x\in A\wedge y\in B\}$

ตัวอย่าง

ถ้า $A=\{a,b\},B=\{2,4,5\}$ แล้ว หา $A\times B$

สามารถหา Cartesian product ได้จากการใช้ diagram

$A\times B=\{(a,2),(a,4),(a,5),(b,2),(b,4),(b,5)\}$

จากตัวอย่าง หากนับจำนวนสมาชิกของ $A\times B$ มีค่าเท่ากับ 6 ซึ่งเท่ากับผลคูณของจำนวนสมาชิกของ A กับ B ดังนั้นเราสามารถเขียนคำจำกัดของ multiplication principle ด้วยความหมายทางเซตได้ว่า

ถ้ามีเซต A และ B แล้ว $|A\times B|=|A|\times |B|$

ตัวอย่าง

1. ถ้ามีเมือง 3 เมือง A,B และ C การเดินทางจากเมือง A ไป B มีเส้นทางอยู่ 4 เส้นทาง และจากเมือง B ไป C มี 3 เส้นทาง หาจำนวนเส้นทางที่แตกต่างกันในการเดินทางจาก A ไป C โดยต้องผ่าน B

การเดินทางมี 2 ขั้นตอนที่ต่อเนื่องกัน คือ $A\to B$ และ $B\to C$

$A\to B$ มีเส้นทางแตกต่างกัน 4 เส้นทาง

$B\to C$ มีเส้นทางแตกต่างกัน 3 เส้นทาง

ใช้ multiplication principle $\text{เส้นทางทั้งหมด}=4\times 3=12$ เส้นทางที่ต่างกัน

2. พิจารณาคุณสมบัติของสีเทียนจำนวนหนึ่งใน 3 ด้าน คือ ความยาว,สี และขนาด (วัดจากเส้นรอบวง) พบว่าสีเทียนที่มีอยู่มีความยาวต่างกัน 3 ขนาด มีสีต่างกันอยู่ 4 สี และมีขนาดต่างกันอยู่ 2 ขนาด คำนวณหาจำนวนสีเทียนมากที่สุดที่จะเป็นไปได้

เนื่องจากสีเทียนแต่ละแท่งจะมีคุณสมบัติทั้ง 3 อยู่รวมกัน ดังนั้นจึงสามารถใช้มุมมองของ order pair (ความยาว,สี,ขนาด) เพื่อใช้แทนคุณสมบัติทั้งสามด้านได้ และเอา Cartesian product มาช่วยในการคำนวณหาคำตอบได้

กำหนดให้ A แทนเซตของความยาว จำนวนสมาชิกใน A คือ 3

กำหนดให้ B แทนเซตของสี จำนวนสมาชิกใน B คือ 4

กำหนดให้ C แทนเซตของขนาด จำนวนสมาชิกใน C คือ 2

$|A\times B\times C|=|A|\times |B|\times |C|=3\times 4\times 2=24$

จำนวนสีเทียนมีได้มากที่สุดคือ 24 แท่ง