จาก product rule บอกเราว่า \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f(x) \cdot g(x) ) = g(x) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) + f(x) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x) \] ผลลัพธ์ที่ได้เป็น 2 terms หากต้องการผลลัพธ์ที่เป็น term เดียว ต้องอาศัย function หรือ กฏ ที่เรียกว่า "chain rule"
พิจารณา \( f(x) = x^2 \) และ \( g(x) = sin(x^2) \) ถ้าทั้งสอง function มี domain เดียวกัน เราอาจเขียนใหม่เป็น
\[ \begin{align*} f(x) &= x^2 \\ g(x) &= sin(f(x)) \\ z(x) &= g \circ f(x) \end{align*} \]หรือ เขียนในรูปแบบง่าย
\[ \begin{align*} y &= x^2 \\ z &= sin(y) \\ \end{align*} \]ซึ่งนั่นคือเรื่องของ conposit function โดย \( z(x) \) คือ composit function
ในการทำ differentiation เมื่อดูจาก \(y = x^2 \) การเปลี่ยนแปลงของ x ส่งผลถึงการเปลี่ยนแปลงของ \( y \) ในขณะเดียวกัน การเปลี่ยนแปลงของ \( y \) ก็จะส่งผลต่อการเปลี่ยนแปลงของ \( z \) ด้วยเป็นลูกโซ่ หรือ domino effect เราอาจเขียนในรูปของสมการ
\[ \frac{\Delta z}{\Delta x} = \frac{\Delta z}{\Delta y } \cdot \frac{\Delta y}{\Delta x } \]เมื่อใส่ limits เข้าไปทั้งสองข้าง
\[ \begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} (\frac{\Delta z}{\Delta y } \cdot \frac{\Delta y}{\Delta x }) \\\\ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta y } \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x } \\\\ \end{align*} \]เนื่องจาก เมื่อ \( \Delta x \to 0 \) ทำให้ \( \Delta y \to 0 \) ด้วย ดังนั้น \( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta y } \) จึงมีผลในทางเดียวกับ \( \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta y } \) นั่นคือ
\[ \begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta y } \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x } \\\\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} &= \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{align*} \]Chain rule :
ถ้ามี y = f(x) ที่มี derivative \( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) และมี z = f(y) ที่มี derivative \( \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\) แล้ว
\[ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \tag{1.0} \]ตัวอย่าง : สมมุติว่ารถยนต์ที่เรากำลังขับอยู่ ใช้น้ำมันเชื้อเพลิง 1 ลิตรต่อการวิ่งระยะทาง 20 กม. ขับรถด้วยความเร็ว 100 กม./ชม. คำนวณหาอัตราการใช้น้ำมันเชื้อเพลิงต่อเวลา (ลิตร/ชม.)
ให้ x แทนเวลาที่ใช้
ให้ y แทนระยะทางที่ใช้
ให้ z แทนปริมาณเชื้อเพลิงที่ใช้
สิ่งที่ต้องการคือ \(\frac{\text{ปริมาณเชื้อเพลง}}{\text{เวลา}} \) ซึ่งหาได้จาก \( \frac{\text{ปริมาณเชื้อเพลง}}{\text{ระยะทาง}} \times \frac{\text{ระยะทาง}}{\text{เวลาที่ใช้}} \) จาก chain rule จะได้
\[ \begin{align*} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} &= \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \\\\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} &= \frac{1}{20} \cdot \frac{100}{1} \\\\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} &= 5 \end{align*} \]คำตอบคืออัตราการใช้เชื้อเพลิงเป็น 5 ลิตรต่อชั่วโมง เมื่อขับด้วยความเร็ว 100 กม./ชม.
 |
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น