Basic Calculus : Chain rule of derivative

จาก product rule บอกเราว่า $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f(x)\cdot g(x))=g(x)\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)+f(x)\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x)$$ ผลลัพธ์ที่ได้เป็น 2 terms หากต้องการผลลัพธ์ที่เป็น term เดียว ต้องอาศัย function หรือ กฏ ที่เรียกว่า "chain rule"

พิจารณา $f(x)=x^2$ และ $g(x)=sin(x^2)$ ถ้าทั้งสอง function มี domain เดียวกัน เราอาจเขียนใหม่เป็น

$$\begin{array}{rl}f(x)& =x^2\\ g(x)& =sin(f(x))\\ z(x)& =g\circ f(x)\end{array}$$

หรือ เขียนในรูปแบบง่าย

$$\begin{array}{rl}y& =x^2\\ z& =sin(y)\end{array}$$

ซึ่งนั่นคือเรื่องของ conposit function โดย $z(x)$ คือ composit function

ในการทำ differentiation เมื่อดูจาก $y=x^2$ การเปลี่ยนแปลงของ x ส่งผลถึงการเปลี่ยนแปลงของ $y$ ในขณะเดียวกัน การเปลี่ยนแปลงของ $y$ ก็จะส่งผลต่อการเปลี่ยนแปลงของ $z$ ด้วยเป็นลูกโซ่ หรือ domino effect เราอาจเขียนในรูปของสมการ

$$\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }y}\cdot \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$$

เมื่อใส่ limits เข้าไปทั้งสองข้าง

$$\begin{array}{rl}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }x}& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }y}\cdot \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x})\\ \\ \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }x}& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }y}\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\\ \end{array}$$

เนื่องจาก เมื่อ $\mathrm{\Delta }x\to 0$ ทำให้ $\mathrm{\Delta }y\to 0$ ด้วย ดังนั้น $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }y}$ จึงมีผลในทางเดียวกับ $\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }y}$ นั่นคือ

$$\begin{array}{rl}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }x}& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }y}\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\\ \\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}& =\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\end{array}$$

Chain rule :

ถ้ามี y = f(x) ที่มี derivative $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ และมี z = f(y) ที่มี derivative $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}$ แล้ว

$$\begin{array}{}\text{(1.0)}& \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\end{array}$$

ตัวอย่าง : สมมุติว่ารถยนต์ที่เรากำลังขับอยู่ ใช้น้ำมันเชื้อเพลิง 1 ลิตรต่อการวิ่งระยะทาง 20 กม. ขับรถด้วยความเร็ว 100 กม./ชม. คำนวณหาอัตราการใช้น้ำมันเชื้อเพลิงต่อเวลา (ลิตร/ชม.)

ให้ x แทนเวลาที่ใช้

ให้ y แทนระยะทางที่ใช้

ให้ z แทนปริมาณเชื้อเพลิงที่ใช้

สิ่งที่ต้องการคือ $\frac{\text{ปริมาณเชื้อเพลง}}{\text{เวลา}}$ ซึ่งหาได้จาก $\frac{\text{ปริมาณเชื้อเพลง}}{\text{ระยะทาง}}\times \frac{\text{ระยะทาง}}{\text{เวลาที่ใช้}}$ จาก chain rule จะได้

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}& =\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ \\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}& =\frac{1}{20}\cdot \frac{100}{1}\\ \\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}& =5\end{array}$$

คำตอบคืออัตราการใช้เชื้อเพลิงเป็น 5 ลิตรต่อชั่วโมง เมื่อขับด้วยความเร็ว 100 กม./ชม.