Basic Calculus : Differentiation และ Derivative

หัวข้อ

  ♦ Derivative และ Differentiation

  ♦ Notation

  ♦ กฏของ Differentation

  ♦ High-order derivative

Derivative และ Differentiation

รูปที่ 1 แสดงกราฟจากสองฟังก์ชั่นคือ $f(x)=x$ แสดงด้วยเส้นสีส้ม เป็นเส้นตรง และ $f(x)=x^2$ แสดงด้วยเส้นสีฟ้าเป็นเส้นโค้ง

รูปที่ 1

การคำนวณหาความชัน (slope) ของกราฟที่เป็นเส้นตรงสามารถคำนวณได้จากสมการข้่างล่าง ซึ่งจะมีค่าเดียวตลอดช่วงที่แสดง $$\begin{array}{}\text{(1.0)}& \text{slope}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\end{array}$$

ในขณะที่การหาความชันของกราฟที่เป็นเส้นโค้งจะทำแบบเดียวกันไม่ได้ เพราะความชันมีการเปลี่ยนแปลงตลอดช่วงที่แสดง ความชันที่ตำแหน่ง P ไม่เท่ากับความชันที่ตำแหน่ง Q (ดูได้จากเส้นสีเขียว) ดังนั้นความชันของเส้นโค้งจะใช้การบอกความชัน ณ จุดนั้นๆ

แนวคิดของการหาความชัน ณ จุดใด ๆ บนเส้นโค้ง ใช้การจินตนาการว่าถ้าเลื่อนจุด Q เข้าใกล้จุด P มากๆ จนระยะห่างระหว่างกันมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ แล้วลากเส้นตรงระหว่างจุด P และ Q ก็น่าจะอนุมานได้ว่าเส้นตรงเส้นนั้นจะมีความชันใกล้เคียงกับความชันจริงที่จุด P และก็จะสามารถใช้สมการ (1.0) เพื่อคำนวณหาความชันได้

ถ้าให้กำหนดให้

  1. $m_P$ แทนความชัน ณ จุด P

  2. $(x_P,y_P),(x_Q,y_Q)$ แทน coordinate จุด P และ Q

  3. h คือระยะห่างระหว่าง P และ Q ในแนวแกน X นั่นคือ $x_Q=x_P+h$

จะได้

$$\begin{array}{rl}{m}_P& =\frac{y_Q-y_p}{x_P-x_Q}\\ \\ m_P& =\frac{f(x_Q)-f(x_P)}{x_P-x_Q}\end{array}$$

แทน h เข้าไปแทน $x_Q$

$$\begin{array}{rl}{m}_P& =\frac{f(x_P+h)-f(x_P)}{x_P-(x_P+h)}\\ \\ \text{(1.1)}& m_P& =\frac{f(x_P+h)-f(x_P)}{h}\end{array}$$

จากแนวคิดที่ว่าไว้ก่อนหน้า $m_P$ จะอนุมานว่าเป็นความชัน ณ จุด P ได้ ถ้า $h\to 0$ ดังนั้นสมการ (1.1) จะสามารถเขียนในรูปของ limits ได้ดังนี้

$$\begin{array}{}\text{(1.1)}& m_P& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_P+h)-f(x_P)}{h}\end{array}$$

จากรูปที่ 1 ถ้าให้ $x_P=0.35$ ความชันที่จุด P คำนวณได้จากการแทนที่ค่า $x_P$ ใน (1.1)

$$\begin{array}{rl}{m}_P& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(0.35+h)-f(0.35)}{h}\\ \\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(0.35+h{)}^2-f(0.35)}{h}\\ \\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{{0.35}^2+0.70h+h^2-{0.35}^2}{h}\\ \\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{0.70h+h^2}{h}\\ \\ & =\underset{h\to 0}{lim}(0.70+h)\\ \\ & =0.7\end{array}$$

ทดสอบตัวเอง ลองคำนวณหาค่าความชัน ณ จุด x = 0.8 ดู

จุด Q อาจอยู่ทางซ้ายของ P ($x_Q<x_P$ ) หรือทางขวาของ P ก็ได้ ($x_Q>x_P$)

จากสมการ (1.1) เขียนใหม่เป็น

$$\begin{array}{}\text{(1.2)}& f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{array}$$

เรียก $f^{\prime }(x)$ ว่า derivative ของ $f(x)$

*** Derivative is limits ของ differences. ***

*** Derivative เป็น function ที่ใช้หาค่าความชันที่ค่าใดๆของ input (domain) ของ $f(x)$ ***

ตัวอย่าง หา $f\prime (x)$ ของ $f(x)=x^2$

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{2hx+h^2}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}2x+h\\ \therefore f^{\prime }(x)& =2x\end{array}$$

ตัวอย่าง หา $f\prime (x)$ ของ $f(x)=x^3$

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x+h{)}^3-x^3}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3-x^3}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{3x^{2}h+3x{h}^2+h^3}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}(3x^2+3xh+h^2)\\ \therefore f^{\prime }(x)& =3x^2\end{array}$$

ตัวอย่าง หา $f\prime (x)$ ของ $f(x)=x^{-1}$

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x+h{)}^{-1}-x^{-1}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\ \\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}\\ \\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{-h}{x^2+xh}}{h}\\ \\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{-1}{x^2+xh}\\ \\ \therefore f^{\prime }(x)& =\frac{-1}{x^2}=-x^{-2}\end{array}$$

จากตัวอย่างข้างต้นเป็นขั้นตอนหรือกระบวนการคำนวณหา $f^{\prime }(x)$ เรียกกระบวนการนี้ว่า differentiation

กระบวนการหา $f^{\prime }(x)$ เรียกว่า differentiation

Notation

คนสำคัญ 2 คนที่มีส่วนในการกำเนิด calculus คือ Newton และ Leibniz ทั้งสองไม่ได้ทำงานร่วมกัน จึงมีการใช้สัญญลักษณ์ต่างกันในความหมายเดียวกัน derivative ก็เช่นเดียวกัน จะพบว่ามีการใช้สัญญลักษณ์มากกว่า 1 แบบ แต่ที่พบได้บ่อยจะเป็น $f^{\prime }$ และ $\frac{dy}{dx}$

จาก (1.2) ทั้ง $f(x+h),f(x)$ ในระบบกราฟที่ plot ข้อมูลบนระนาบ 2 แกน x,y จะหมายถึงค่าตามแนวแกน y ดังนั้น อาจเขียนใหม่เป็น $\mathrm{\Delta }y$ ทำนองเดียวกัน h อาจเขียนใหม่เป็น $\mathrm{\Delta }x$ ดังนั้น (1.2) อาจเขียนใหม่เป็น

$$\begin{array}{}\text{(1.3)}& f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{dy}{dx}\end{array}$$

สิ่งที่ควรทราบ

  ♦ เรียก dy และ dx ว่า differentials

  ♦ $\frac{dy}{dx}$ ไม่ใช่การหาร เป็นสัญญลักษณ์ของ derivative

  ♦ $\frac{dy}{dx}\approx \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ เมื่อ $\mathrm{\Delta }x\to 0$ ดังนั้นในบางครั้งจะพบว่ามีการใช้ $\frac{dy}{dx}$ แบบเดียวกับการใช้เศษส่วนทั่วไป

  ♦ จาก (1.3) จะเห็นว่า $f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$ เป็นมุมมองของ limits เมื่อ $\mathrm{\Delta }x\to 0$ ไม่ได้หมายความว่าจะทั้งสองจะมีค่าเท่ากันจริง และโดยความเข้าใจทั่วไปจะใช้ทั้ง $f^{\prime }(x)$ และ $\frac{dy}{dx}$ สลับกันไปมา

กฏของ Differentation

ที่ใช้บ่อย

1. Derivative of constant (zero function) :

$$\frac{dc}{dx}=0,c\text{ is constant}$$

2. Derivative of identity function หรือ $f(x)=x$ :

$$\frac{dy}{dx}=1$$

3. Rule of power :

$$\frac{d{x}^n}{dx}=n{x}^{n-1}$$

4. Constant multiple :

$$\frac{dkf(x)}{dx}=k\frac{df(x)}{dx}$$

5. Sum of functions : กฏข้อนี้ใช้ได้กับทั้งการบวกและการลบ

$$\frac{d(f(x)+g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx}+\frac{dg(x)}{dx}$$

6. Product rule :

$$\frac{d(f(x)\cdot g(x))}{dx}=g(x)\cdot \frac{df(x)}{dx}+f(x)\cdot \frac{dg(x)}{dx}$$

7. Quotient rule :

$$\frac{d\frac{f(x)}{g(x)}}{dx}=\frac{g(x)\cdot \frac{df(x)}{dx}-f(x)\cdot \frac{dg(x)}{dx}}{(g(x){)}^2}$$

โดยต้องไม่มี x ที่ทำให้ $g(x)=0$

กฏหรือสูตรพิเศษ

  ♦  $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{e}^x=e^x$

  ♦  $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{e}^{g(x)}=e^{g(x)}\cdot \frac{d}{dx}g(x)$

  ♦  $\frac{d}{dx}{a}^x=a^x\cdot {\log }_{e}a$

  ♦  Chain rule : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y=\frac{d}{du}y\cdot \frac{d}{dx}u$

ตัวอย่าง : จงหา derivative ของ functions ต่อไปนี้

(1) $f(x)=3x^2$ $$\begin{array}{rl}\frac{d(3x^2)}{dx}& =\frac{3d(x^2)}{dx},\text{(constant multiple)}\\ \\ \frac{d(3x^2)}{dx}& =3\cdot 2x,\text{(rule of power)}\\ \\ \frac{d(3x^2)}{dx}& =6x\end{array}$$

(2) $f(x)=x^2+3$ $$\begin{array}{rl}\frac{d(x^2+3)}{dx}& =\frac{d(x^2)}{dx}+\frac{d3}{dx},\text{(sum of function)}\\ \\ \frac{d(x^2+3)}{dx}& =2x+0,\text{(rule of power and derivative of constant)}\\ \\ \frac{d(x^2+3)}{dx}& =2x\end{array}$$

3. $f(x)=x^5+6x^7$ $$\begin{array}{rl}\frac{d(x^5+6x^7)}{dx}& =\frac{d(x^5)}{dx}+\frac{d(6x^7)}{dx},\text{(sum of function)}\\ \\ & =5x^4+\frac{6d(x^7)}{dx},\text{(rule of power and constant multiple)}\\ \\ \frac{d(x^5+6x^7)}{dx}& =5x^4+42x^6,\text{(rule of power )}\\ \end{array}$$

4. $f(x)=(x+1)(x^2+3)$ $$\begin{array}{rl}\frac{d(x+1)(x^2+3)}{dx}& =(x^2+3)\frac{d(x+1)}{dx}+(x+1)\frac{d(x^2+3)}{dx},\text{(product rule)}\\ \\ & =(x^2+3)(\frac{dx}{dx}+\frac{d1}{dx})+(x+1)(\frac{d{x}^2)}{dx}+\frac{d3)}{dx}),\text{(sum of function)}\\ \\ & =(x^2+3)(1+0)+(x+1)(2x+0)\\ \\ & =(x^2+3)+2x(x+1)\\ & =x^2+3+2x^2+1\\ \frac{d(x+1)(x^2+3)}{dx}& =3x^2+4\end{array}$$

5.$f(x)=\frac{x^2+3x-4}{2x+1}$

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^2+3x-4}{2x+1})& =\frac{(2x+1)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2+3x-4)-(x^2+3x-4)\frac{\mathrm{d}(2x+1)}{\mathrm{d}x}}{(2x+1{)}^2},\text{(quotient rule)}\\ \\ & =\frac{(2x+1)(2x+3)-(x^2+3x-4)(2)}{(2x+1{)}^2}\\ \\ & =\frac{(4x^2+8x+3)-(2x^2+6x-8)}{(2x+1{)}^2}\\ \\ & =\frac{4x^2+8x+3-2x^2-6x+8}{(2x+1{)}^2}\\ \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^2+3x-4}{2x+1})& =\frac{2x^2+2x+11}{(2x+1{)}^2}\\ \end{array}$$

Higher-order derivative

ถ้า $f^{\prime }(x)$ สามารถหาได้แล้ว และ $f^{\prime \prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x)}{h}$ ยังคงหาได้ เรียกว่า $f^{\prime \prime }(x)$ ว่า "second derivative " ของ $f(x))$

และถ้า $f^{\prime \prime }(x)$ สามารถหาได้แล้ว และ $f^{\prime \prime \prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f^{\prime \prime }(x+h)-f^{\prime \prime }(x)}{h}$ ยังคงหาได้อีก เรียกว่า $f^{\prime \prime \prime }(x)$ ว่า "third derivative " ของ $f(x)$

จากที่กล่าวมา ไปได้ที่จะสามารถหา derivative ใน order ที่สูงขึ้นไปอีก ตราบที่ derivative ยังคงหาได้ $f^{\prime \prime }(x),f^{\prime \prime \prime }(x),...,f^n(x)$ เรียกว่า "higher-order derivative of $f(x)$

ความหมายของ sencond derivative

  ♦ $f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$ บอกถึงความชัน (slope) ของ f(x) หรือ rate of change ของ f(x) เมื่อเทียบกับ x

  ♦ $f^{\prime \prime }(x)=\frac{d^{2}y}{dx}$ บอกถึง rate of change ของ slope เรียกว่า concavity ของ f(x)

  ♦ ถ้า $f^{\prime \prime }(x)>0$ บอกว่า f(x) มีลักษณะหงายขึ้น (upward, concave up) ถ้า $f^{\prime \prime }(x)<0$ บอกว่า f(x) มีลักษณะคว่ำลง (downward, concave down)

ตัวอย่าง : จงหา high-order derivative ของ $f(x)=5x^3-2x^2+6x+1$

1) หา $f^{\prime }(x)$

$$\begin{array}{rl}f(x)& =5x^3-2x^2+6x+1\\ \therefore f^{\prime }(x)& =15x^2-4x+6\end{array}$$

2) หา $f^{\prime \prime }(x)$

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =15x^2-4x+6\\ \therefore f^{\prime \prime }(x)& =30x-4\end{array}$$

3) หา $f^{\prime \prime \prime }(x)$

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime }(x)& =30x-4\\ \therefore f^{\prime \prime \prime }(x)& =30\end{array}$$

4) หา $f^{\prime \prime \prime \prime }(x)$

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime \prime }(x)& =30\\ \therefore f^{\prime \prime \prime \prime }(x)& =0\end{array}$$

สรุปได้ว่า $f(x)=5x^3-2x^2+6x+1$ สามารถหา derivative ได้จนถึงระดับที่ 4 หรือ $f^{\prime \prime \prime \prime }(x)$

ตัวอย่าง : จงหา $f^{\prime }(x)\text{ และ }{f}^{\prime \prime }(x)$ ของ $f(x)=\frac{x^3-1}{x}$ แล้วหาค่าของ $f^{\prime }(3)$ และ $f^{\prime \prime }(-4)$

หา $f^{\prime }(x)$ เนื่องจากอยู่ในรูปการหาร ใช้ quotient rule

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^3-1)-(x^3-1)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x}{x^2}\\ \\ & =\frac{x(3x^2)-(x^3-1)}{x^2}\\ \\ & =\frac{2x^3+1}{x^2}\\ \\ \therefore f^{\prime }(3)& =\frac{2(3{)}^3+1)}{3^2}=\frac{55}{9}\\ \end{array}$$

หา $f^{\prime \prime }(x)$ เนื่องจากอยู่ในรูปการหารควรใช้ quotient rule แต่เพื่อลดความยุ่งยาก จะทำการปรับรูปแบบให้อยู่อย่างง่าย

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{2x^3+1}{x^2}\\ \\ & =\frac{2x^3}{x^2}+\frac{1}{x^2}\\ \\ & =2x+x^{-2}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime }(x)& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}2x+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{x}^{-2}\\ \\ & =2-2x^{-3}\\ \\ \therefore f^{\prime \prime }(-4)& =2-2(-4{)}^{-3}\\ \\ & =2+\frac{1}{32}=\frac{65}{32}\end{array}$$