Derivative และ Differentiation
รูปที่ 1 แสดงกราฟจากสองฟังก์ชั่นคือ \( f(x) = x \) แสดงด้วยเส้นสีส้ม เป็นเส้นตรง และ \(f(x) = x^2 \) แสดงด้วยเส้นสีฟ้าเป็นเส้นโค้ง
 |
| รูปที่ 1 |
การคำนวณหาความชัน (slope) ของกราฟที่เป็นเส้นตรงสามารถคำนวณได้จากสมการข้่างล่าง ซึ่งจะมีค่าเดียวตลอดช่วงที่แสดง \[ \text{slope} = \frac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1} \tag{1.0}\]
ในขณะที่การหาความชันของกราฟที่เป็นเส้นโค้งจะทำแบบเดียวกันไม่ได้ เพราะความชันมีการเปลี่ยนแปลงตลอดช่วงที่แสดง ความชันที่ตำแหน่ง P ไม่เท่ากับความชันที่ตำแหน่ง Q (ดูได้จากเส้นสีเขียว) ดังนั้นความชันของเส้นโค้งจะใช้การบอกความชัน ณ จุดนั้นๆ
แนวคิดของการหาความชัน ณ จุดใด ๆ บนเส้นโค้ง ใช้การจินตนาการว่าถ้าเลื่อนจุด Q เข้าใกล้จุด P มากๆ จนระยะห่างระหว่างกันมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ แล้วลากเส้นตรงระหว่างจุด P และ Q ก็น่าจะอนุมานได้ว่าเส้นตรงเส้นนั้นจะมีความชันใกล้เคียงกับความชันจริงที่จุด P และก็จะสามารถใช้สมการ (1.0) เพื่อคำนวณหาความชันได้
ถ้าให้กำหนดให้
1. \( m_{P} \) แทนความชัน ณ จุด P
2. \( (x_P,y_P) ,(x_Q,y_Q) \) แทน coordinate จุด P และ Q
3. h คือระยะห่างระหว่าง P และ Q ในแนวแกน X นั่นคือ \( x_Q = x_P + h\)
จะได้
\[ \begin{align*} m_P &= \frac{y_Q - y_p}{x_P - x_Q} \\\\ m_P &= \frac{f(x_Q) - f(x_P)}{x_P - x_Q} \end{align*} \]
แทน h เข้าไปแทน \( x_Q \)
\[ \begin{align*} m_P & = \frac{f(x_P +h) - f(x_P)}{x_P - (x_P+h) } \\\\ m_P & = \frac{f(x_P +h) - f(x_P)}{h } \tag{1.1} \end{align*} \]จากแนวคิดที่ว่าไว้ก่อนหน้า \( m_P \) จะอนุมานว่าเป็นความชัน ณ จุด P ได้ ถ้า \( h \to 0 \) ดังนั้นสมการ (1.1) จะสามารถเขียนในรูปของ limits ได้ดังนี้
\[
\begin{align*}
m_P & = \lim_{h \to 0 }\frac{f(x_P +h) - f(x_P)}{h } \tag{1.1}
\end{align*}
\]
จากรูปที่ 1 ถ้าให้ \(x_P = 0.35\) ความชันที่จุด P คำนวณได้จากการแทนที่ค่า \( x_P \) ใน (1.1)
\[ \begin{align*} m_P &= \lim_{h \to 0 }\frac{f(0.35 +h) - f(0.35)}{h } \\\\ &= \lim_{h \to 0 }\frac{(0.35 +h)^2 - f(0.35)}{h} \\\\ &= \lim_{h \to 0 }\frac{0.35^2 +0.70h +h^2 - 0.35^2}{h} \\\\ &= \lim_{h \to 0 }\frac{0.70h +h^2 }{h} \\\\ &= \lim_{h \to 0 }(0.70 +h) \\\\ &= 0.7 \end{align*} \]ทดสอบตัวเอง ลองคำนวณหาค่าความชัน ณ จุด x = 0.8 ดู
จุด Q อาจอยู่ทางซ้ายของ P (\( x_Q < x_P \) ) หรือทางขวาของ P ก็ได้ (\( x_Q > x_P \))
จากสมการ (1.1) เขียนใหม่เป็น
\[ f^\prime(x) = \lim_{h \to 0 }\frac{f(x +h) - f(x)}{h } \tag{1.2} \]เรียก \(f^\prime(x) \) ว่า derivative ของ \( f(x) \)
*** Derivative is limits ของ differences. ***
*** Derivative เป็น function ที่ใช้หาค่าความชันที่ค่าใดๆของ input (domain) ของ \(f(x) \) ***
ตัวอย่าง หา \( f \prime(x) \) ของ \(f(x) = x^2 \)
\[ \begin{align*} f^\prime(x) &= \lim_{h \to 0 }\frac{f(x +h) - f(x)}{h } \\ &= \lim_{h \to 0 }\frac{(x +h)^2 - x^2}{h } \\ &= \lim_{h \to 0 }\frac{x^2 +2xh +h^2 - x^2}{h } \\ &= \lim_{h \to 0 }\frac{2hx+ h^2}{h } \\ &= \lim_{h \to 0 }2x+ h \\ \therefore f^\prime(x) &= 2x \end{align*} \]
ตัวอย่าง หา \( f \prime(x) \) ของ \(f(x) = x^3 \)
\[ \begin{align*} f^\prime(x) &= \lim_{h \to 0 }\frac{f(x +h) - f(x)}{h } \\ &= \lim_{h \to 0 }\frac{(x +h)^3 - x^3}{h } \\ &= \lim_{h \to 0 }\frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3- x^3}{h } \\ &= \lim_{h \to 0 }\frac{ 3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h } \\ &= \lim_{h \to 0 }( 3x^2 + 3xh + h^2) \\ \therefore f^\prime(x) &= 3x^2 \end{align*} \]ตัวอย่าง หา \( f \prime(x) \) ของ \(f(x) = x^{-1} \)
\[ \begin{align*} f^\prime(x) &= \lim_{h \to 0 }\frac{f(x +h) - f(x)}{h } \\ &= \lim_{h \to 0 }\frac{(x +h)^{-1} - x^{-1}}{h } \\ &= \lim_{h \to 0 }\frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h } \\\\ &= \lim_{h \to 0 }\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h } \\\\ &= \lim_{h \to 0 }\frac{\frac{-h}{x^2+xh}}{h } \\\\ &= \lim_{h \to 0 }\frac{-1}{x^2+xh} \\\\ \therefore f^\prime(x) &= \frac{-1}{x^2} = -x^{-2} \end{align*} \]จากตัวอย่างข้างต้นเป็นขั้นตอนหรือกระบวนการคำนวณหา \( f^\prime (x) \) เรียกกระบวนการนี้ว่า differentiation
กระบวนการหา \( f^\prime(x) \) เรียกว่า differentiation
Notation
คนสำคัญ 2 คนที่มีส่วนในการกำเนิด calculus คือ Newton และ Leibniz ทั้งสองไม่ได้ทำงานร่วมกัน จึงมีการใช้สัญญลักษณ์ต่างกันในความหมายเดียวกัน derivative ก็เช่นเดียวกัน จะพบว่ามีการใช้สัญญลักษณ์มากกว่า 1 แบบ แต่ที่พบได้บ่อยจะเป็น \( f^\prime \) และ \( \frac{dy}{dx} \)
จาก (1.2) ทั้ง \(f(x+h), f(x) \) ในระบบกราฟที่ plot ข้อมูลบนระนาบ 2 แกน x,y จะหมายถึงค่าตามแนวแกน y ดังนั้น อาจเขียนใหม่เป็น \( \Delta y \) ทำนองเดียวกัน h อาจเขียนใหม่เป็น \(\Delta x \) ดังนั้น (1.2) อาจเขียนใหม่เป็น
\[ f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0 }\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx} \tag{1.3} \]สิ่งที่ควรทราบ
♦ เรียก dy และ dx ว่า differentials
♦ \(\frac{dy}{dx} \) ไม่ใช่การหาร เป็นสัญญลักษณ์ของ derivative
♦ \(\frac{dy}{dx} \approx \frac{\Delta y}{\Delta x} \) เมื่อ \(\Delta x \to 0 \) ดังนั้นในบางครั้งจะพบว่ามีการใช้ \( \frac{dy}{dx} \) แบบเดียวกับการใช้เศษส่วนทั่วไป
♦ จาก (1.3) จะเห็นว่า \(f^\prime(x) = \frac{dy}{dx} \) เป็นมุมมองของ limits เมื่อ \(\Delta x \to 0 \) ไม่ได้หมายความว่าจะทั้งสองจะมีค่าเท่ากันจริง และโดยความเข้าใจทั่วไปจะใช้ทั้ง \( f^\prime(x) \) และ \( \frac{dy}{dx}\) สลับกันไปมา
กฏของ Differentation
ที่ใช้บ่อย
1. Derivative of constant (zero function) :
\[ \frac{dc}{dx} = 0 , c \text{ is constant}\]2. Derivative of identity function หรือ \(f(x) = x \) :
\[ \frac{dy}{dx} = 1 \]3. Rule of power :
\[ \frac{dx^n}{dx} = nx^{n-1} \]4. Constant multiple :
\[ \frac{dkf(x)}{dx} = k\frac{df(x)}{dx}\]5. Sum of functions : กฏข้อนี้ใช้ได้กับทั้งการบวกและการลบ
\[ \frac{d(f(x)+g(x))}{dx} = \frac{df(x)}{dx} + \frac{dg(x)}{dx}\]6. Product rule :
\[ \frac{d(f(x) \cdot g(x))}{dx} = g(x)\cdot\frac{df(x)}{dx} + f(x) \cdot \frac{dg(x)}{dx}\]7. Quotient rule :
\[ \frac{d\frac{f(x)}{g(x)}}{dx} = \frac{g(x)\cdot\frac{df(x)}{dx} - f(x) \cdot \frac{dg(x)}{dx}}{(g(x))^2} \]โดยต้องไม่มี x ที่ทำให้ \( g(x) = 0 \)
กฏหรือสูตรพิเศษ
♦ \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x = e^x\)
♦ \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{g(x)} = e^{g(x)} \cdot \frac{d}{dx}g(x) \)
♦ \( \frac{d}{dx}a^x = a^x \cdot \log_ea \)
♦ Chain rule : \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y = \frac{d}{du}y \cdot \frac{d}{dx}u \)
ตัวอย่าง : จงหา derivative ของ functions ต่อไปนี้
(1) \(f(x) = 3x^2 \) \[ \begin{align*} \frac{d(3x^2)}{dx} &= \frac{3d(x^2)}{dx} ,\text{(constant multiple)} \\\\ \frac{d(3x^2)}{dx} &= 3 \cdot 2x ,\text{(rule of power)} \\\\ \frac{d(3x^2)}{dx} &= 6x \end{align*} \]
(2) \(f(x) = x^2+3 \) \[ \begin{align*} \frac{d(x^2+3)}{dx} &= \frac{d(x^2)}{dx} + \frac{d3}{dx} ,\text{(sum of function)} \\\\ \frac{d(x^2+3)}{dx} &= 2x + 0 ,\text{(rule of power and derivative of constant)} \\\\ \frac{d(x^2+3)}{dx} &= 2x \end{align*} \]
3. \(f(x) = x^5 + 6x^7 \) \[ \begin{align*} \frac{d(x^5 + 6x^7)}{dx} &= \frac{d(x^5)}{dx} + \frac{d(6x^7)}{dx} ,\text{(sum of function)} \\\\ &= 5x^4 + \frac{6d(x^7)}{dx} ,\text{(rule of power and constant multiple)} \\\\ \frac{d(x^5 + 6x^7)}{dx} &= 5x^4 + 42x^6 ,\text{(rule of power )} \\\\ \end{align*} \]
4. \(f(x) = (x+1)(x^2+3) \) \[ \begin{align*} \frac{d(x+1)(x^2+3)}{dx} &= (x^2+3)\frac{d(x+1)}{dx} + (x+1)\frac{d(x^2+3)}{dx} ,\text{(product rule)} \\\\ &= (x^2+3)(\frac{dx}{dx} + \frac{d1}{dx}) + (x+1)(\frac{dx^2)}{dx} + \frac{d3)}{dx}) ,\text{(sum of function)} \\\\ &= (x^2+3)(1 + 0) + (x+1)(2x + 0) \\\\ &= (x^2+3) + 2x(x+1) \\ &= x^2+3 + 2x^2 +1 \\ \frac{d(x+1)(x^2+3)}{dx} &= 3x^2+4 \\ \end{align*} \]
5.\(f(x) = \frac{x^2+3x -4}{2x+1} \)
\[ \begin{align*} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}x} (\frac{x^2+3x -4}{2x+1}) &= \frac{(2x+1)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2+3x-4) - (x^2+3x-4)\frac{\mathrm{d}(2x+1)}{\mathrm{d}x}}{(2x+1)^2} ,\text{(quotient rule)}\\\\ &= \frac{(2x+1)(2x+3) - (x^2+3x-4)(2)}{(2x+1)^2} \\\\ &= \frac{(4x^2+8x+3) - (2x^2+6x-8)}{(2x+1)^2} \\\\ &= \frac{4x^2+8x+3 - 2x^2-6x+8}{(2x+1)^2} \\\\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}x} (\frac{x^2+3x -4}{2x+1})&= \frac{2x^2+2x+11 }{(2x+1)^2} \\\\ \end{align*} \]Higher-order derivative
ถ้า \( f^\prime (x) \) สามารถหาได้แล้ว และ \(f^{\prime\prime}(x) = \lim_{h \to 0 }\frac{f^\prime(x +h) - f^\prime(x)}{h } \) ยังคงหาได้ เรียกว่า \( f^{\prime\prime} (x) \) ว่า "second derivative " ของ \(f(x))\)
และถ้า \( f^{\prime\prime} (x) \) สามารถหาได้แล้ว และ \(f^{\prime\prime\prime}(x) = \lim_{h \to 0 }\frac{f^{\prime\prime}(x +h) - f^{\prime\prime}(x)}{h } \) ยังคงหาได้อีก เรียกว่า \( f^{\prime\prime\prime} (x) \) ว่า "third derivative " ของ \(f(x)\)
จากที่กล่าวมา ไปได้ที่จะสามารถหา derivative ใน order ที่สูงขึ้นไปอีก ตราบที่ derivative ยังคงหาได้ \( f^{\prime\prime}(x),f^{\prime\prime\prime}(x),...,f^{n}(x) \) เรียกว่า "higher-order derivative of \( f(x) \)
ความหมายของ sencond derivative
♦ \(f^\prime(x) = \frac{dy}{dx} \) บอกถึงความชัน (slope) ของ f(x) หรือ rate of change ของ f(x) เมื่อเทียบกับ x
♦ \(f^{\prime\prime}(x) = \frac{d^2y}{dx} \) บอกถึง rate of change ของ slope เรียกว่า concavity ของ f(x)
♦ ถ้า \(f^{\prime\prime}(x) > 0 \) บอกว่า f(x) มีลักษณะหงายขึ้น (upward, concave up) ถ้า \(f^{\prime\prime}(x) < 0 \) บอกว่า f(x) มีลักษณะคว่ำลง (downward, concave down)
ตัวอย่าง : จงหา high-order derivative ของ \( f(x) = 5x^3 - 2x^2 +6x +1 \)
1) หา \( f^\prime(x)\)
\[ \begin{align*} f(x) &= 5x^3 - 2x^2 +6x +1\\ \therefore f^\prime(x) &= 15x^2 - 4x +6 \end{align*} \]2) หา \( f^{\prime\prime}(x)\)
\[ \begin{align*} f^\prime(x) &= 15x^2 - 4x +6 \\ \therefore f^{\prime\prime}(x) &= 30x - 4 \end{align*} \]3) หา \( f^{\prime\prime\prime}(x)\)
\[ \begin{align*} f^{\prime\prime}(x) &= 30x - 4 \\ \therefore f^{\prime\prime\prime}(x) &= 30 \end{align*} \]4) หา \( f^{\prime\prime\prime\prime}(x)\)
\[ \begin{align*} f^{\prime\prime\prime}(x) &= 30 \\ \therefore f^{\prime\prime\prime\prime}(x) &= 0 \end{align*} \]สรุปได้ว่า \( f(x) = 5x^3 - 2x^2 +6x +1 \) สามารถหา derivative ได้จนถึงระดับที่ 4 หรือ \( f^{\prime\prime\prime\prime}(x)\)
ตัวอย่าง : จงหา \( f^{\prime}(x) \text{ และ } f^{\prime\prime}(x) \) ของ \( f(x) = \frac{x^3 - 1}{x} \) แล้วหาค่าของ \(f^{\prime}(3)\) และ \( f^{\prime\prime}(-4) \)
หา \(f^{\prime}(x)\) เนื่องจากอยู่ในรูปการหาร ใช้ quotient rule
\[ \begin{align*} f^{\prime}(x) &= \frac{x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^3 -1) - (x^3-1)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x}{x^2} \\\\ &= \frac{x(3x^2) - (x^3-1)}{x^2}\\\\ &= \frac{2x^3 + 1}{x^2}\\\\ \therefore f^{\prime}(3) &= \frac{2(3)^3 + 1)}{3^2} = \frac{55}{9}\\\\ \end{align*} \]หา \(f^{\prime\prime}(x)\) เนื่องจากอยู่ในรูปการหารควรใช้ quotient rule แต่เพื่อลดความยุ่งยาก จะทำการปรับรูปแบบให้อยู่อย่างง่าย
\[ \begin{align*} f^{\prime}(x) &= \frac{2x^3 + 1}{x^2}\\\\ &= \frac{2x^3}{x^2} + \frac{1}{x^2} \\\\ &= 2x + x^{-2} \end{align*} \] \[ \begin{align*} f^{\prime\prime}(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}2x + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{-2} \\\\ &= 2 -2x^{-3} \\\\ \therefore f^{\prime\prime}(-4) &= 2 - 2(-4)^{-3} \\\\ &= 2+ \frac{1}{32} = \frac{65}{32} \end{align*} \]
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น