Basic Calculus : Integration part 1

หัวข้อ

  ♦ แนวคิด

  ♦ Notation

  ♦ กฏของ Integration

  ♦ Part 2

แนวคิด

ในเนื้อหาเรื่อง Limits ได้มีการเกริ่นถึงแนวคิดของ integration ไปบ้างแล้ว ในตอนนี้จะแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ระหว่าง differentiation และ integration

เหตุการณ์สมมุติ : ถ้ามีหุ่นยนต์ตัวหนึ่ง ถูกติดตั้งระบบวัดระยะทางการเคลื่อนที่แบบละเอียด ปล่อยให้เคลื่อนที่จากจุดหยุดนิ่งจุดหนึ่งเป็นเวลา 100 วินาที แล้วนำข้อมูลที่บันทึกได้มา plot กราฟระหว่างระยะทางที่เคลื่อนที่ได้กับเวลา ได้ดังรูปที่ 1

 รูปที่ 1

ถ้าให้ y แทนระยะทางและ x แทนเวลาที่ใช้ จากกราฟเราอาจกล่าวได้ว่าระยะทางที่เคลื่อนที่ไปเป็น function ของเวลา

$$\begin{array}{}\text{(1.0)}& y=f(x)\end{array}$$

ความรู้จากกลศาสตร์เรื่องกฏการเคลื่อนแนวเส้นตรง บอกเราว่า

$$\begin{array}{rl}\text{velocity}& =\frac{\text{distance traveled}}{\text{time taken}}\\ \\ \text{distance traveled}& =\text{velocity}\times \text{time taken}\end{array}$$

ดังนั้น ความเร็วของหุ่นยนต์ (V) ณ เวลาใดๆ $$\begin{array}{r}\text{(1.1)}& V& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ V& =2\\ \end{array}$$

จะเห็นว่า ค่าความเร็วที่ได้คือ derivative ของ f(x) ใน (1.0) ต่อไป นำเอา V ไป plot กราฟเทียบกับเวลา ได้ตามรูปที่ 2 (ที่ได้กราฟเป็นเส้นตรงเพราะค่าของ velocity เป็นค่าคงที่)

รูปที่ 2

กราฟในรูปที่ 2 แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง ความเร็ว (V) กับเวลา (x) หรืออาจได้ว่าเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง derivative ของ $f(x)$ กับ x

พื้นที่ใต้กราฟในรูปที่ 3 หาได้จาก

$$\text{area under curve}=\text{velocity}\times \text{time taken}$$

เทียบกับสมการของกฏการเคลื่อนที่แล้ว พื้นที่ใต้กราฟก็คือระยะที่เคลื่อนที่ได้นั่นเอง เราอาจเขียนสมการนี้ใหม่ที่มี derivative

$$\begin{array}{rl}\text{distance traveled }& =\text{velocity}\times \text{time taken}\\ \text{distance traveled }& =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot \mathrm{\Delta }x\end{array}$$

ถ้ากำหนดให้ $\mathrm{\Delta }x$ มีค่าน้อยๆ ( $\mathrm{\Delta }x\to 0$ ) ก็จะเหมือนกับการแบ่งพื้นที่ใต้กราฟในรูปที่ 2 ออกเป็นสี่เหลี่ยมหลายรูป ตามรูปที่ 3

รูปที่ 3

มุมมองนี้ทำให้เห็นว่าการจะหาว่าหุ่นยนต์เดินทางไปได้ระยะทางเท่าใด สามารถคำนวณได้จากการนำเอาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่แบ่งไว้ในจินตนาการมารวมกัน

$$\begin{array}{}\text{(1.2)}& \text{distance traveled }& =\text{sum of }\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot \mathrm{\Delta }x\end{array}$$

กระบวนนี้เรียกว่าการ integration และเมื่อนำไปเทียบกับ (1.0) จะเห็นว่า (1.0) และ (1.2) มีความหมายเดียวกันหรือเป็น function เดียวกัน

จากที่กล่าวมาก็เพื่อจะทำให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่าง differentiation และ integration ว่าเป็นกระบวนที่ตรงข้ามกัน การทำ differentiation ทำให้เกิด derivative ของ $f(x)$ เมื่อนำ derivative มาทำการ integration ก็จะได้ f(x) กลับคืนมา ด้วยเหตุนี้ทำให้บางครั้ง integration อาจถูกเรียกว่าเป็น antiderivative

รูปที่ 4

แนวคิดของ Integration มาจากการหาพื้นที่ใต้กราฟระหว่าง $f\prime (x)$ กับ $x$

Notation

การทำ integration ใช้สัญญลักษณ์ $\int$ ที่ดูเหมือนกับอักษร $S$ ที่ถูกยืดออก และ s ก็มาจากคำ "sum" ซึ่งหมายถึงการรวมเข้าด้วยกัน รูปแบบทั่วของ integratiion คือ

$$\begin{array}{}\text{(2.0)}& \int g(x)dx=f(x)+C\end{array}$$

เมื่อ $g(x)=f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$ และเรียก C ว่าเป็น arbitary constant หรือ integration constant รูปแบบที่เขียนใน (2.0) เรียกว่าเป็น indefinite integral

อีกรูปหนึ่งเรียกว่า definite integral ซึ่งจะมีการกำหนดช่วงของ domain [a,b] ไว้ด้วย

$$\begin{array}{}\text{(2.1)}& {\int }_a^{b}g(x)dx=f(x){|}_a^b=f(b)-f(a)\end{array}$$

เช่น ถ้า $f^{\prime }(x)=2x^3$

Indefinite integral :

$$\begin{array}{rl}\int 2x^{3}dx& =\frac{2}{4}{x}^4+C\\ \\ \int 2x^{3}dx& =\frac{x^4}{2}+C\end{array}$$

Definite integral ช่วง [2,4] :

$$\begin{array}{rl}{\int }_2^{4}2x^{3}dx& =\frac{x^4}{2}{|}_2^4\\ \\ {\int }_2^{4}2x^{3}dx& =(\frac{4^4}{2}+C)-(\frac{2^4}{2}+C)\\ \\ {\int }_2^{4}2x^{3}dx& =\frac{256}{2}+C-\frac{16}{2}-C\\ \\ {\int }_2^{4}2x^{3}dx& =120\end{array}$$

เนื่องจาก integration มาจากการคำนวณหาพื้นที่ใต้กราฟ ดังนั้นข้อมูลที่ใช้ในการคำนวณหาพื้นที่สี่เหลี่ยมใต้กราพคือ width กับ height ก็จะมีปรากฏอยู่ในรูปแบบของการเขียนสัญลักษณ์

กฏของ Integration

  ♦  Constant rule

$$\int cdx=cx,\text{ c is constant}$$

เช่น $\int 5x^{2}dx=5\int x^{2}dx$

  ♦  Multiplication by constant

$$\int c{f}^{\prime }(x)dx=c\int f^{\prime }(x)dx,\text{ c is constant}$$

เช่น $\int 5x^{2}dx=5\int x^{2}dx$

  ♦  Power rule

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

เช่น $\int 5x^{2}dx=\frac{5x^3}{3}+C$

  ♦  Sum rule

$$\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$$

เช่น $\int (4x+3)dx=\int 4xdx+\int 3dx=2x^2+3x$

  ♦  Recipocal rule

$$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$$

$\ln (x)$ คือ natural logarithm หรือ ${\log }_e(x)$

  ♦  Exponential rule

$$\begin{array}{rl}\int e^{x}dx& =e^x+C\\ \\ \int a^{x}dx& =\frac{a^x}{\ln a}+C\\ \\ \int \ln x& =x\ln x-x+C\end{array}$$

e คือ Euler's number มีค่าประมาณ 2.71828

  ♦  Trigonometry rule

$$\begin{array}{rl}\int cos(x)dx& =sin(x)+C\\ \\ \int sin(x)dx& =-cos(x)+C\\ \\ \int {\text{sec}}^2(x)& =tan(x)+C\end{array}$$

x คือค่าของมุมมีหน่วนเป็น radian

ตัวอย่าง หา f(x) จาก derivatives ต่อไปนี้

  ♦  $e^x-3$

$$\begin{array}{rl}\int (e^x-3)dx& =\int e^x-\int 3dx,\text{ sum rule}\\ \\ \int (e^x-3)dx& =e^x-3x+C,\text{ exponential and power rules}\\ \\ \therefore f(x)& =e^x-3x+C\end{array}$$

  ♦  $cos(x)+x$

$$\begin{array}{rl}\int (cos(x)+x)dx& =\int cos(x)+\int xdx,\text{ sum rule}\\ \\ \int (cos(x)+x)dx& =sin(x)+\frac{1}{2}{x}^2+C,\text{ trigonometry and power rules}\\ \\ \therefore f(x)& =sin(x)+\frac{1}{2}{x}^2+C\end{array}$$