แนวคิด
ในเนื้อหาเรื่อง Limits ได้มีการเกริ่นถึงแนวคิดของ integration ไปบ้างแล้ว ในตอนนี้จะแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ระหว่าง differentiation และ integration
เหตุการณ์สมมุติ : ถ้ามีหุ่นยนต์ตัวหนึ่ง ถูกติดตั้งระบบวัดระยะทางการเคลื่อนที่แบบละเอียด ปล่อยให้เคลื่อนที่จากจุดหยุดนิ่งจุดหนึ่งเป็นเวลา 100 วินาที แล้วนำข้อมูลที่บันทึกได้มา plot กราฟระหว่างระยะทางที่เคลื่อนที่ได้กับเวลา ได้ดังรูปที่ 1
 |
| รูปที่ 1 |
ถ้าให้ y แทนระยะทางและ x แทนเวลาที่ใช้ จากกราฟเราอาจกล่าวได้ว่าระยะทางที่เคลื่อนที่ไปเป็น function ของเวลา
\[ y = f(x) \tag{1.0} \]ความรู้จากกลศาสตร์เรื่องกฏการเคลื่อนแนวเส้นตรง บอกเราว่า
\[ \begin{align*} \text{velocity} &= \frac{\text{distance traveled}}{ \text{time taken}} \\ \\ \text{distance traveled} &= \text{velocity} \times \text{time taken}\\ \end{align*} \]ดังนั้น ความเร็วของหุ่นยนต์ (V) ณ เวลาใดๆ \[ \begin{align*} V &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \tag{1.1} \\\\ V &= 2 \\\\ \end{align*} \]
จะเห็นว่า ค่าความเร็วที่ได้คือ derivative ของ f(x) ใน (1.0) ต่อไป นำเอา V ไป plot กราฟเทียบกับเวลา ได้ตามรูปที่ 2 (ที่ได้กราฟเป็นเส้นตรงเพราะค่าของ velocity เป็นค่าคงที่)
 |
| รูปที่ 2 |
กราฟในรูปที่ 2 แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง ความเร็ว (V) กับเวลา (x) หรืออาจได้ว่าเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง derivative ของ \(f(x)\) กับ x
พื้นที่ใต้กราฟในรูปที่ 3 หาได้จาก
\[ \text{area under curve} = \text{velocity} \times \text{time taken} \\ \]เทียบกับสมการของกฏการเคลื่อนที่แล้ว พื้นที่ใต้กราฟก็คือระยะที่เคลื่อนที่ได้นั่นเอง เราอาจเขียนสมการนี้ใหม่ที่มี derivative
\[ \begin{align*} \text{distance traveled } &= \text{velocity} \times \text{time taken} \\ \text{distance traveled } &= \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \cdot \Delta x \\ \end{align*} \]ถ้ากำหนดให้ \( \Delta x \) มีค่าน้อยๆ ( \( \Delta x \to 0 \) ) ก็จะเหมือนกับการแบ่งพื้นที่ใต้กราฟในรูปที่ 2 ออกเป็นสี่เหลี่ยมหลายรูป ตามรูปที่ 3
 |
| รูปที่ 3 |
มุมมองนี้ทำให้เห็นว่าการจะหาว่าหุ่นยนต์เดินทางไปได้ระยะทางเท่าใด สามารถคำนวณได้จากการนำเอาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่แบ่งไว้ในจินตนาการมารวมกัน
\[ \begin{align*} \text{distance traveled } &= \text{sum of }\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \cdot \Delta x \tag{1.2} \\ \end{align*} \]กระบวนนี้เรียกว่าการ integration และเมื่อนำไปเทียบกับ (1.0) จะเห็นว่า (1.0) และ (1.2) มีความหมายเดียวกันหรือเป็น function เดียวกัน
จากที่กล่าวมาก็เพื่อจะทำให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่าง differentiation และ integration ว่าเป็นกระบวนที่ตรงข้ามกัน การทำ differentiation ทำให้เกิด derivative ของ \( f(x) \) เมื่อนำ derivative มาทำการ integration ก็จะได้ f(x) กลับคืนมา ด้วยเหตุนี้ทำให้บางครั้ง integration อาจถูกเรียกว่าเป็น antiderivative
 |
| รูปที่ 4 |
แนวคิดของ Integration มาจากการหาพื้นที่ใต้กราฟระหว่าง \(f\prime(x) \) กับ \( x \)
Notation
การทำ integration ใช้สัญญลักษณ์ \( \int \) ที่ดูเหมือนกับอักษร \(S\) ที่ถูกยืดออก และ s ก็มาจากคำ "sum" ซึ่งหมายถึงการรวมเข้าด้วยกัน รูปแบบทั่วของ integratiion คือ
\[ \int g(x) dx = f(x) +C \tag{2.0} \]เมื่อ \( g(x) = f^\prime(x) = \frac{dy}{dx}\) และเรียก C ว่าเป็น arbitary constant หรือ integration constant รูปแบบที่เขียนใน (2.0) เรียกว่าเป็น indefinite integral
อีกรูปหนึ่งเรียกว่า definite integral ซึ่งจะมีการกำหนดช่วงของ domain [a,b] ไว้ด้วย
\[ \int_a^b g(x) dx = f(x) \bigg|_a^b = f(b)-f(a) \tag{2.1} \]เช่น ถ้า \( f^\prime(x) = 2x^3 \)
Indefinite integral :
\[ \begin{align*} \int 2x^3 dx &= \frac{2}{4}x^4 + C \\\\ \int 2x^3 dx &= \frac{x^4}{2} + C \end{align*} \]Definite integral ช่วง [2,4] :
\[ \begin{align*} \int_2^4 2x^3 dx &= \frac{x^4}{2} \bigg|_2^4 \\\\ \int_2^4 2x^3 dx &= (\frac{4^4}{2} + C) - (\frac{2^4}{2} + C) \\\\ \int_2^4 2x^3 dx &= \frac{256}{2} + C - \frac{16}{2} - C \\\\ \int_2^4 2x^3 dx &= 120 \end{align*} \]เนื่องจาก integration มาจากการคำนวณหาพื้นที่ใต้กราฟ ดังนั้นข้อมูลที่ใช้ในการคำนวณหาพื้นที่สี่เหลี่ยมใต้กราพคือ width กับ height ก็จะมีปรากฏอยู่ในรูปแบบของการเขียนสัญลักษณ์
 |
กฏของ Integration
♦ Constant rule
\[ \int cdx = cx, \text{ c is constant} \]เช่น \( \int 5x^2dx = 5\int x^2dx \)
♦ Multiplication by constant
\[ \int cf^\prime(x)dx = c\int f^\prime(x)dx, \text{ c is constant} \]เช่น \( \int 5x^2dx = 5\int x^2dx \)
♦ Power rule
\[ \int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]เช่น \( \int 5x^2dx = \frac{5x^3}{3} + C \)
♦ Sum rule
\[ \int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x) dx \pm \int g(x)dx \]เช่น \( \int (4x+3)dx = \int 4x dx + \int 3dx = 2x^2+3x \)
♦ Recipocal rule
\[ \int \frac{1}{x}dx = \ln{|x|} + C \]\( \ln(x) \) คือ natural logarithm หรือ \( \log_e(x) \)
♦ Exponential rule
\[ \begin{align*} \int e^x dx &= e^x + C \\\\ \int a^x dx &= \frac{a^x}{\ln{a}} + C \\\\ \int \ln{x} & = x\ln{x} - x + C \end{align*} \]e คือ Euler's number มีค่าประมาณ 2.71828
♦ Trigonometry rule
\[ \begin{align*} \int cos(x) dx &= sin(x) + C \\\\ \int sin(x) dx &= -cos(x) + C \\\\ \int \text{sec}^2(x) & = tan(x) + C \end{align*} \]x คือค่าของมุมมีหน่วนเป็น radian
ตัวอย่าง หา f(x) จาก derivatives ต่อไปนี้
♦ \(e^x -3 \)
\[ \begin{align*} \int (e^x -3) dx &= \int e^x - \int 3dx ,\text{ sum rule} \\\\ \int (e^x -3) dx &= e^x - 3x + C ,\text{ exponential and power rules} \\\\ \therefore f(x) &= e^x - 3x + C \end{align*} \]♦ \(cos(x) +x \)
\[ \begin{align*} \int (cos(x) +x) dx &= \int cos(x) + \int xdx ,\text{ sum rule} \\\\ \int (cos(x) +x) dx &= sin(x) +\frac{1}{2}x^2 + C ,\text{ trigonometry and power rules} \\\\ \therefore f(x) &= sin(x) +\frac{1}{2}x^2 + C \end{align*} \]
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น