การแจกแจงแบบ exponential เป็นการแจกแจงที่พบได้บ่อยในงานที่เกี่ยวกับช่วงของเวลา (time interval) เช่น ระยะเวลาระหว่างลูกค้าที่เข้ามาในร้าน ระยะเวลาระหว่างการเกิดแผ่นดินไหว ฯล ที่อาจไม่เกี่ยวกับเวลาก็มีเช่น จำนวนเงินที่นักท่องเที่ยวใช้จ่าย
Probability distribution function
Continuous random variable X ที่มีการแจกแจงแบบ exponential เมื่อมี pdf เป็น
\[ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},& x > 0 \\ 0, & otherwise \end{cases} \tag{1.0} \]Continuous random variable X ที่มีการแจกแจงแบบ exponential จะใช้สัญลักษณ์ \( X \thicksim \text{Exponential}(\lambda) \)
จาก (1.0) เรื่องที่ควรสังเกตุคือ
♦ จะเห็นว่ามี \(\lambda \) ที่ต้องทำการประมาณค่าเพื่อจะคำนวณหา probability
♦ ค่าของ X จะมากกว่า 0
ค่าของ \( \lambda \) ส่งผลต่อรูปแบบของการแจกแจง \( \lambda \) ที่มีค่าน้อยจะทำให้ histogram แบบราบกว่า \( \lambda \) ที่มีค่ามาก ดังรูปที่ 1
 |
| รูปที่ 1 |
จากรูปที่ 1 ทำให้เราบอกลักษณะของการแจกแจงแบบ exponential ได้ว่า จะมี X 2 กลุ่มคือ กลุ่มที่มีค่าน้อยแต่มี probability สูงและกลุ่มที่มีค่ามากแต่มี probability ต่ำ โดยทั้งสองกลุ่มนี้จะมีจำนวนไม่มาก
Expectation และ Variance
หา E(X)
\[ \begin{align*} E(X) &= \int_0^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} dx\\\\ \end{align*} \]ใช้เทคนิค integration by parts จะได้
\[ \begin{align*} E(X) &= -e^{-\lambda x} [x + \frac{1}{\lambda} ] \bigg|_0^{\infty}\\\\ \therefore E(X)&= \frac{1}{\lambda} \end{align*} \]หา Var(X)
\[ \begin{align*} Var(X) &= \int_0^{\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx - (\frac{1}{\lambda})^2 \\\\ \therefore Var(X)&= \frac{1}{\lambda^2} \end{align*} \]นั่นคือ
ถ้า continuous random variable \( X \thicksim \text{Exponential}(\lambda) แล้ว \) จะได้
\[ \begin{align*} E(X)&= \frac{1}{\lambda} \tag{1.1}\\\\ Var(X)&= \frac{1}{\lambda^2} \tag{1.2} \end{align*} \]จาก (1.1) และ (1.2) ทำให้สามารประมาณค่าของ \(\lambda \) ได้จากค่าของ \( \mu \) และ variance ได้ คือ
\[ \begin{align*} E(X)&= \frac{1}{\lambda} \\\\ \therefore \lambda &= \frac{1}{E(X)} = \frac{1}{\mu}\\\\ \end{align*} \]หรือในกรณีที่ทราบ variance
\[ \begin{align*} Var(X)&= \frac{1}{\lambda^2} \\\\ \therefore \lambda &= \frac{1}{Var(X)} = \frac{1}{\sigma^2}\\\\ \end{align*} \]ตัวอย่าง ในร้านขายของอัญมณีแห่งหนึ่ง เจ้าของร้านทำการเก็บข้อมูล เวลาที่ลูกค้าใช้ในการพูดคุยกับพนักงานขาย 8 นาทีโดยเฉลี่ย ถ้ากำหนดให้เวลาที่ลูกค้าใช้มีการแจกแจงแบบ exponential distribution จงหา probability ที่ลูกค้าจะใช้เวลา 4 - 5 นาที
 |
ให้ X เป็น continuous random variable ของเวลาที่ลูกค้าใช้คุยกับพนักงาน
ค่าเฉลี่ยของเวลาที่ลูกค้าใช้คุยกับพนักงาน คือ 8 นาที
\[ \begin{align*} \lambda &= \frac{1}{\mu} \\ \therefore \lambda &= \frac{1}{8} \\ \end{align*} \]Proability ที่ลูกค้าจะใช้เวลา 4- 5 นาที หาได้จาก
\[ \begin{align*} P(4 \leq X \leq 5) &= \int_4^5 \lambda e^{-\lambda x} dx \\\\ &= \int_4^5 \frac{1}{8} e^{-\frac{1}{8} x} dx \\\\ &= \int_4^5 e^ydy&,y = -\frac{x}{8}\\\\ &= e^{-\frac{x}{8}} \bigg|_4^5 \\\\ &= e^{-\frac{1}{2}} - e^{-\frac{5}{8}}\\\\ \therefore P(4 \leq X \leq 5) &= 0.071 \end{align*} \]ลองเปลี่ยนค่าขอ่งช่วงเวลาที่ลูกค้าใช้กับพนักงานเป็นมากกว่า 8 นาทีดู
\[ \begin{align*} P(8 \leq X \leq \infty) &= e^{-\frac{x}{8}} \bigg|_{8}^{\infty} \\\\ &= 0.37 \end{align*} \]
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น