Probability : Exponential Distribution

การแจกแจงแบบ exponential เป็นการแจกแจงที่พบได้บ่อยในงานที่เกี่ยวกับช่วงของเวลา (time interval) เช่น ระยะเวลาระหว่างลูกค้าที่เข้ามาในร้าน ระยะเวลาระหว่างการเกิดแผ่นดินไหว ฯล ที่อาจไม่เกี่ยวกับเวลาก็มีเช่น จำนวนเงินที่นักท่องเที่ยวใช้จ่าย

Probability distribution function

Continuous random variable X ที่มีการแจกแจงแบบ exponential เมื่อมี pdf เป็น

$$\begin{array}{}\text{(1.0)}& f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& otherwise\end{array}\end{array}$$

Continuous random variable X ที่มีการแจกแจงแบบ exponential จะใช้สัญลักษณ์ $X\sim \text{Exponential}(\lambda )$

จาก (1.0) เรื่องที่ควรสังเกตุคือ

  ♦ จะเห็นว่ามี $\lambda$ ที่ต้องทำการประมาณค่าเพื่อจะคำนวณหา probability

  ♦ ค่าของ X จะมากกว่า 0

ค่าของ $\lambda$ ส่งผลต่อรูปแบบของการแจกแจง $\lambda$ ที่มีค่าน้อยจะทำให้ histogram แบบราบกว่า $\lambda$ ที่มีค่ามาก ดังรูปที่ 1

รูปที่ 1

จากรูปที่ 1 ทำให้เราบอกลักษณะของการแจกแจงแบบ exponential ได้ว่า จะมี X 2 กลุ่มคือ กลุ่มที่มีค่าน้อยแต่มี probability สูงและกลุ่มที่มีค่ามากแต่มี probability ต่ำ โดยทั้งสองกลุ่มนี้จะมีจำนวนไม่มาก

Expectation และ Variance

หา E(X)

$$\begin{array}{rl}E(X)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\lambda e^{-\lambda x}dx\\ \end{array}$$

ใช้เทคนิค integration by parts จะได้

$$\begin{array}{rl}E(X)& =-e^{-\lambda x}[x+\frac{1}{\lambda }]{|}_0^{\mathrm{\infty }}\\ \\ \therefore E(X)& =\frac{1}{\lambda }\end{array}$$

หา Var(X)

$$\begin{array}{rl}Var(X)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\lambda e^{-\lambda x}dx-(\frac{1}{\lambda }{)}^2\\ \\ \therefore Var(X)& =\frac{1}{{\lambda }^2}\end{array}$$

นั่นคือ

ถ้า continuous random variable $X\sim \text{Exponential}(\lambda )แล้ว$ จะได้

$$\begin{array}{r}\text{(1.1)}& E(X)& =\frac{1}{\lambda }\\ \text{(1.2)}& Var(X)& =\frac{1}{{\lambda }^2}\end{array}$$

จาก (1.1) และ (1.2) ทำให้สามารประมาณค่าของ $\lambda$ ได้จากค่าของ $\mu$ และ variance ได้ คือ

$$\begin{array}{rl}E(X)& =\frac{1}{\lambda }\\ \\ \therefore \lambda & =\frac{1}{E(X)}=\frac{1}{\mu }\\ \end{array}$$

หรือในกรณีที่ทราบ variance

$$\begin{array}{rl}Var(X)& =\frac{1}{{\lambda }^2}\\ \\ \therefore \lambda & =\frac{1}{Var(X)}=\frac{1}{{\sigma }^2}\\ \end{array}$$

ตัวอย่าง ในร้านขายของอัญมณีแห่งหนึ่ง เจ้าของร้านทำการเก็บข้อมูล เวลาที่ลูกค้าใช้ในการพูดคุยกับพนักงานขาย 8 นาทีโดยเฉลี่ย ถ้ากำหนดให้เวลาที่ลูกค้าใช้มีการแจกแจงแบบ exponential distribution จงหา probability ที่ลูกค้าจะใช้เวลา 4 - 5 นาที

ให้ X เป็น continuous random variable ของเวลาที่ลูกค้าใช้คุยกับพนักงาน

ค่าเฉลี่ยของเวลาที่ลูกค้าใช้คุยกับพนักงาน คือ 8 นาที

$$\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{1}{\mu }\\ \therefore \lambda & =\frac{1}{8}\end{array}$$

Proability ที่ลูกค้าจะใช้เวลา 4- 5 นาที หาได้จาก

$$\begin{array}{rl}P(4\le X\le 5)& ={\int }_4^5\lambda e^{-\lambda x}dx\\ \\ & ={\int }_4^5\frac{1}{8}{e}^{-\frac{1}{8}x}dx\\ \\ & ={\int }_4^5{e}^{y}dy& ,y=-\frac{x}{8}\\ \\ & =e^{-\frac{x}{8}}{|}_4^5\\ \\ & =e^{-\frac{1}{2}}-e^{-\frac{5}{8}}\\ \\ \therefore P(4\le X\le 5)& =0.071\end{array}$$

ลองเปลี่ยนค่าขอ่งช่วงเวลาที่ลูกค้าใช้กับพนักงานเป็นมากกว่า 8 นาทีดู

$$\begin{array}{rl}P(8\le X\le \mathrm{\infty })& =e^{-\frac{x}{8}}{|}_8^{\mathrm{\infty }}\\ \\ & =0.37\end{array}$$