Probability : Bayes' Rule

จากความรู้เรื่อง Conditional probability [1] เราทราบว่า

$$P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A)=P(A\mid B)\cdot P(B)$$

สมการนี้บอกเราว่า หากทราบ $P(A\mid B)$ ก็จะสามารถหา $P(B\mid A)$ ได้เช่นกัน นั่นคือ

$$\begin{array}{}\text{(1.0)}& \boxed{{\displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(A\mid B)\cdot P(B)}{P(A)}}}\end{array}$$ เมื่อ $P(A)\ne 0.0$

และจากเรื่อง Law of total probability [2]

$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A\cap B_i)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)\cdot P(A\mid B_i)$$

เราสามารถเขียน (1.0) ได้เป็น

$$\begin{array}{}\text{(1.1)}& \boxed{{\displaystyle P(B_j\mid A)=\frac{P(A\mid B_j)\cdot P(B_j)}{\sum _{i=1}^{n}P(B_i)\cdot P(A\mid B_i)}}}\end{array}$$

เมื่อ $B_1,B_2,B_3,...,B_n$ คือ partition ของ Sample space

เรียกสมการ (1.0) หรือ (1.1) ว่า "Bayes' Rule" [3][4] ในเอกสารบางแห่งจะเขียนในรูปแบบ

$$\begin{array}{}\text{(1.2)}& \text{Posteria Probability}=\frac{\text{Likelyhood}\times \text{Prior Probability}}{\text{Marginal Probability}}\end{array}$$

ตัวอย่าง 1 :  สมมุติมีโรคระบาดชนิดหนึ่ง พบว่าในประชากร 100,000 คน จะมีคนติดเชื้อ 1 คน ได้มีการพัฒนาชุดตรวจโรคขึ้นมา ทดสอบกับตัวอย่างแบบสุ่มแล้วพบว่า 

1. ในกรณีที่เป็นผู้ติดเชื้อแต่ให้ผลการตรวจเป็นลบ (false negative) มีค่าความน่าจะเป็น 0.01

2. ในกรณีที่ไม่ได้เป็นผู้ติดเชื้อ แต่ให้ผลการตรวจเป็นบวก (false positive) มีค่าความน่าจะเป็น 0.02

หากนำชุดตรวจนี้ได้ตรวจผู้ต้องสงสัยจะติดเชื้อรายหนึ่งพบว่าผลออกมาเป็นบวก ความน่าจะเป็นที่ผู้ต้องสงสัยรายนี้จะเป็นผู้ติดเชื้อจริง มีค่าเท่าใด ?

กำหนดให้ 

A แทนเหตุการณ์ที่คนติดเชื้อ

$A^c$ แทนเหตุการณ์คนไม่ได้ติดเชื้อ

B แทนเหตุการณ์ที่ผลการตรวจของชุดตรวจออกมาเป็นบวก

$B^c$ แทนเหตุการณ์ที่ผลการตรวจของชุดตรวจออกมาเป็นลบ

 สิ่งที่ต้องการหาคือ $P(A\mid B)$

$$\begin{array}{}\text{(2.0)}& P(A\mid B)=\frac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(B)}\end{array}$$

สิ่งที่ทราบแล้วคือ

$$\begin{array}{}\text{(2.1)}& P(A)& =\frac{1}{100000}\text{(2.2)}& P(A^c)& =1-\frac{1}{100000}\end{array}$$

หา $P(B)$ ได้จากการพิจารณาผลการตรวจ ในตัวอย่างที่ได้รับผลการตรวจเป็นบวก จะมีทั้งที่เป็นผู้ติดเชื้อจริงและไม่ได้เป็นผู้ติดเชื้อ (ดูรูปที่ 1) แสดงว่า  ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B เป็นผลรวมของความน่าจะเป็นจากสองเหตุการณ์คือ

ความน่าจะเป็นจากเหตุกาณ์ที่ได้ผลบวกในคนที่ไม่ติดเชื้อ ($P(B\mid A^c)$ ) และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ผลได้เป็นบวกในคนที่ติดเชื้อจริง ( $P(B\mid A)$)

$$\begin{array}{}\text{(2.3)}& P(B)=P(B\mid A)\cdot P(A)+P(B\mid A^c)\cdot P(A^c)\end{array}$$

รูปที่ 1

จากที่กำหนดไว้ความน่าจะเป็นของ false negative คือ 0.01 เขียนแทนด้วย

$$\begin{array}{rl}P(B^c\mid A)& =0.01\\ \text{(2.4)}& \therefore P(B\mid A)& =1-0.01=0.99\end{array}$$

และกำหนดไว้ความน่าจะเป็นของ false positive คือ 0.02 เขียนแทนด้วย

$$\begin{array}{}\text{(2.5)}& P(B\mid A^c)& =0.02\end{array}$$

จาก (2.1),(2.2),(2.3),(2.4) และ (2.5)หาค่าของ $P(B)$ ได้จาก

$$\begin{array}{rl}P(B)& =P(B\mid A)\cdot P(A)+P(B\mid A^c)\cdot P(A^c)\\ P(B)& =0.99\times \frac{1}{100000}+0.02\times (1-\frac{1}{100000})\\ \text{(2.6)}& P(B)& =0.02\end{array}$$

นำค่าจาก (2.1),(2.4) และ (2.6) ไปแทนใน (2.0)

$$\begin{array}{rl}P(A\mid B)& =\frac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(B)}\\ P(A\mid B)& =\frac{\frac{1}{100000}\times 0.99}{0.02}\\ P(A\mid B)& =0.000495\end{array}$$

หากอ่านแล้วดูเหมือนจะไม่เห็นภาพ จะลองอธิบายด้วยแผนภาพต้นไม้ดู ตามรูปที่ 2

รูปที่ 2

เนื่องจากอัตราการติดเชื้อต่ำมาก ขอเริ่มจากจำนวนตัวอย่างเยอะสักนิด สมมุติว่ามีกลุ่มตัวอย่าง 10,000,000 คน 

1. อัตราการติดเชื้อ (ความน่าจะเป็นของการติดเชื้อ) คือ $\frac{1}{100,000}$ แสดงว่า ในกลุ่มตัวอย่างนี้อาจมีผู้ติดเชื้อประมาณ 100 คน และไม่ติดเชื้อ 9,999,900  คน

2. ความน่าจะเป็นของการเกิด false negative คือ 0.01 หมายถึง ถ้านำคนที่ทราบแน่ชัดว่าติดเชื้อ 100 คน (จากข้อ 1) ไปตรวจด้วยชุดตรวจนี้ จะได้ผลลบ 1 คน และผลบวกจำนวน 99 คน

3. ความน่าจะเป็นของการเกิด false positive คือ 0.02 หมายถึง ถ้านำคนที่ทราบแน่ชัดว่าไม่ติดชัดไปตรวจด้วยชุดตรวจนี้ 100 คน จะได้ผลบวก 2 คน ในแผนภาพคือ ผลบวก จำนวน 199,998 ที่เหลือเป็นลบ

4. จากจำนวนตัวอย่าง 10,000,000 หากนำมาตรวจทุกคน จำนวนผลตรวจที่เป็นบวกควรเป็น 199,998 + 99 = 200,097 คน

5. จากข้อ 4 ในจำนวน 200,097 คนที่ให้ผลตรวจเป็นบวก จะมีคนที่ติดเชื้อจริงอยู่ 99 คน ดังนั้นความน่าจะเป็นมีค่าเป็น $\frac{99}{200,097}=0.000495$ ตีความได้ว่า หากนำคนมา 1 คนแบบสุ่ม มาทำการตรวจเชื้อด้วยชุดตรวจนี้ แล้วผลออกมาเป็นบวก โอกาสที่คนนั้นจะเป็นผู้ติดเชื้อประมาณ 0.0005 เท่านั้น

6. ลองคิดดูว่าหากได้ผลออกมาเป็นลบแล้วความน่าจะเป็นที่คนนั้นจะไม่เป็นคนติดเชื้อมีค่า $\frac{9799902}{9799903}=0.9999998979581737$ 

7. จากผลการคำนวณจะพบว่าชุดตรวจนี้ให้ผลที่น่าเชื่อถือมากเมื่อผลออกมาเป็นลบ และมีความน่าเชื่อน้อยมากเมื่อผลออกมาเป็นบวก ดังนั้นหากจะนำชุดตรวจนี้มาใช้ จำเป็นต้องหาวิธีอื่นมาเพิ่มเมื่อผลออกมาเป็นบวก

เอกสารอ้างอิง

[1] https://smarter-machine.blogspot.com/2020/09/probability-conditional-probability.html

[2] https://smarter-machine.blogspot.com/2020/09/probability-law-of-total-probability.html

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Bayes%27_theorem

[4] https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/Bayes-rule