Basic Linear algebra : Vector part I

หัวข้อ

ความหมายของ Vector

Vector กับ Coordinate system

Special vectors

Basic vector operations

Vector space

Linear combination

Vector spanning

Linear dependence และ linear independence

Norm of vector

Part II

ความหมายของ Vector

"objects called vectors, which may be added together and multiplied ("scaled") by numbers, called scalars. Scalars are often taken to be real numbers" [1]

จากนิยามนี้ Vector มีอยู่ในหลายรูปแบบ เช่น

1. ตัวเลข : 6.02, 0.002, 3.414,...

$\begin{aligned} 6.02 + 0.002 & = 6.022 \\ 2 \times 6.02 & = 12.04 \end{aligned}$

2. Polynomials หรือ Functions :

$\begin{aligned} f (x) & = 1 + x - 2 x^{2} \\ g (x) & = x + 3 x^{2} - 3 x^{3} + x^{4} \\ f (x) + g (x) & = 1 + 2 x + x^{2} - 3 x^{3} + x^{4} \\ 2 \cdot f (x) & = 2 + 2 x - 4 x^{2} \end{aligned}$

3. Coordinate ใน n-space (Geometric vectors) :

4. Elements of Real Number :

$\begin{aligned} \vec{v} & = [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}] \\ \vec{u} & = [\begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ \frac{22}{7} \\ \frac{3}{5} \end{array}] \\ \vec{v} + \vec{u} & = [\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{3} \\ 2 + \frac{22}{7} \\ 3 + \frac{3}{5} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{7}{3} \\ \frac{36}{7} \\ \frac{12}{5} \end{array}] \\ 2 \times \vec{v} & = [\begin{array}{c} 2 \times 1 \\ 2 \times 2 \\ 2 \times 3 \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}] \end{aligned}$

รูปแบบนี้จะเขียนได้สองแบบคือแนวตั้ง (เรียกว่า column vector) $[\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ ⋮ \end{matrix}]$ หรือ แนวนอน (เรียกว่า row vector) $[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots \end{matrix}]$ ก็ได้ และเป็นรูปแบบที่ถูกใช้ในข้อเขียนนี้

จากตัวอย่างทั้ง 4 แบบ มีข้อสังเกตุว่าการรวมกันของ vector ต้องอยู่ในรูปแบบเดียวกันเท่านั้น (any two things of the same kind can be added) ถ้าต่างรูปแบบกันจะไม่สามารถหาคำตอบได้ เช่น $[\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}] + 3 x^{2}$

นอกจากนี้ จะเห็นว่ามีคำ "scalar" ปรากฏอยู่ ความหมายของ scalar คือ unit of data เป็นสิ่งที่ทำให้เราทราบค่าของสิ่งนั้น เราจะเอา scalar มาจาก set ของจำนวนจริง

รูปที่ 1

ในรูปที่ 1,

\vec{v} = [\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}]

\vec{v}

เป็นสิ่งที่ถูกเรียกว่า vector ในขณะที่เลข 2 ทั้งสองตัวในวงเล็บเป็นจำนวนจริงเรียกว่า scalar หากกล่าวเช่นนี้แล้ว เราจะนับ scalar เป็น vector ได้ในบางกรณี บางมุมมอง ที่นับได้เพราะมันไม่ขัดกับนิยามที่กล่าวมา

[top]

Vector กับ Coordinate system

เราทราบแล้วว่าเราสามารถใช้ตัวเลขหนึ่งตัวแทนจุดบนเส้นตรงแนวนอนหรือที่เรียกว่าเส้นจำนวน ใช้ตัวเลขสองตัวหรือสามตัวแทนจุดบนระนาบ (plane) การใช้ตัวเลขทำนองนี้คือการบอกตำแหน่งของจุด [2] บนระนาบ จำนวนของตัวเลขที่ใช้เป็นการบอกตำแหน่งขึ้นกับจำนวน space (dimension) ที่กำลังกล่าวถึง เช่น

1-space ใช้ 1 ตัว

2-space ใช้ 2 ตัว [2, 3] ,[4, 5], ... ใช้ระบุตำแหน่งบนระนาบ x-axis, y-axis

3-space ใช้ 3 ตัว [1, 2, 3], [4, 5, 6], ... ใช้ระบุตำแหน่งในระนาบ x-axis, y-axis , z-axis

...

n-space ใช้ n ตัว [

x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . ., x_{n}

]

รูปที่ 2

การระบุตำแหน่งของจุด $X$ ใดๆ บน $n - s p a c e$ ด้วยระบบตัวเลขแบบนี้ อาจเรียกว่า coordinate ของ $X$ ซึ่งมีรูปแบบที่เหมือนกับการเขียน vector แบบ elements of real number

เมื่อต้องการระบุว่า vector นั้นอยู่ใน space หรือ dimension ใด เขียนแทนด้วย $ℜ^{n}$ เลขกำลังคือจำนวน space และ $ℜ$ หมายถึง set ของจำนวนจริง

$ℜ^{2}$ แทน 2-space : $[\begin{matrix} 0.5 \\ π \end{matrix}] \in ℜ^{2}$

$ℜ^{3}$ แทน 3-space : $[\begin{matrix} \frac{π}{4} \\ \frac{π}{2} \\ \frac{π}{3} \end{matrix}] \in ℜ^{3}$

$ℜ^{n}$ แทน n-space : $\vec{x} = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] \in ℜ^{n}$

ระบบ coordinate ถือว่าทุกจุดใน space มีจุดเริ่มต้นมาจากจุด origin มี coordinate เป็น 0 (จำนวน 0 ขึ้นกับว่าอยู่ในขนาด space ใด) และสมาชิกใน coordinate ของจุด map ไปยังแกนของระนาบในแนวฉากทุกแกน เป็นการบอกระยะห่างของจุดนั้นจาก origin

ดูจากรูปที่ 2 เส้นประแสดงแนวการ map จาก coordinate ลงไปยังแกนในแนวฉาก ยกตัวอย่างเช่น

\vec{x} = [\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}]

จะหมายถึง จุดนี้อยู่ใน 3-space หรือ

ℜ^{3}

มีระยะห่างจาก

origin = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

บน x-axis = 2 หน่วย บน y-axis = 3 หน่วย และ บน z-axis =1 หน่วย (ดูรูปที่ 3 ประกอบ)

รูปที่ 3

การใช้ระบบ coordinate มาเขียนเป็น vector มีข้อดีคือทำให้รับรู้ถึงทิศทางและสามารถคำนวณหา attitude (norm) ได้ด้วย (จะกล่าวถึงต่อไป)

[top]

Special vectors

Zero vector คือ vector ที่สมาชิกทุกตัวเป็น 0 เช่น $\vec{a} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$

Unit vector คือ vector ที่มีขนาด (magnitude) เป็น 1 บางครั้งเรียก normalized vector เขียนแทนด้วย $\hat{v}$ หาได้จาก $\hat{v} = \frac{\vec{v}}{‖ \vec{v} ‖}$ (การคูณ vector ด้วย $\frac{1}{magnitude}$ เรียกว่าการทำ normalization )

Sparse vector คือ vector ที่สมาชิกส่วนใหญ่เป็น 0 (ด้วยนิยามนี้ เราอาจนับ unit vector และ zero vector ว่าเป็น sparse vector ด้วยก็ได้) เช่น $\vec{x_{1}} = [\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], \vec{x_{2}} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}], \vec{x_{3}} = [\begin{matrix} 10 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], \vec{x_{4}} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1000 \end{matrix}]$

[top]

Basic vector operations

1. Addition หรือการบวก vector

vector ที่จะรวมกันได้ต้องอยู่ใน space เดียวกัน หรือมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน การรวมกันจะเกิดแบบ element-wise คือ จะนำเอาสมาชิกของ vector ที่อยู่ตำแหน่งเดียวกันมารวมกัน

$\begin{aligned} \vec{x} & = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}], \vec{y} = [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{array}] \\ \vec{x} + \vec{y} & = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \\ ⋮ \\ x_{n} + y_{n} \end{array}] \end{aligned}$ เช่น $\begin{aligned} \vec{x} & = [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], \vec{y} = [\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}] \\ \vec{x} + \vec{y} & = [\begin{array}{c} 1 + 3 \\ 2 + 2 \\ 3 + 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array}] \end{aligned}$

คุณสมบัติพื้นฐานของการบวก

Commutativity (การสลับ) : $\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x}$
Associativity (การจัดหมู่) : $\vec{x} + (\vec{y} + \vec{z}) = (\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z}$
Adding to zero vector has no effect : $\vec{x} + \vec{0} = \vec{x}$
$\vec{x} - \vec{x} = \vec{0}$

2 . Vector-scalar multiplication

เช่นเดียวกันกับการบวก การคูณ vector ด้วย scalar เป็น element-wise operation ดังนี้

$β \cdot [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} β \cdot x_{1} \\ β \cdot x_{2} \\ β \cdot x_{3} \\ ⋮ \\ β \cdot x_{n} \end{matrix}]$ เมื่อ $β \in ℜ$

ยกตัวอย่าง

$2 \times [\begin{matrix} 0.1 \\ 0.2 \\ 0.3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 \times 0.1 \\ 2 \times 0.2 \\ 2 \times 0.3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0.2 \\ 0.4 \\ 0.6 \end{matrix}]$

คุณสมบัติพื้นฐานของการคูณ

Associativity (การจัดหมู่) : $(β α) \vec{x} = β (α \vec{x})$ $(2 \times 3) [\begin{matrix} 0.1 \\ 0.2 \\ 0.3 \end{matrix}] = (2 \times [\begin{matrix} 0.1 \\ 0.2 \\ 0.3 \end{matrix}]) \times 3 = [\begin{matrix} 0.6 \\ 1.2 \\ 1.8 \end{matrix}]$
Distributivity (การกระจาย) :
$(α + β) \vec{x} = α \vec{x} + β \vec{x}$ $\begin{aligned} (2 + 3) [\begin{array}{c} 0.1 \\ 0.2 \\ 0.3 \end{array}] & = 2 \times [\begin{array}{c} 0.1 \\ 0.2 \\ 0.3 \end{array}] + 3 \times [\begin{array}{c} 0.1 \\ 0.2 \\ 0.3 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 0.2 \\ 0.4 \\ 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0.3 \\ 0.6 \\ 0.9 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 0.5 \\ 1.0 \\ 1.5 \end{array}] \end{aligned}$

$α (\vec{x} + \vec{y}) = α \vec{x} + α \vec{y}$ $\begin{aligned} 2 ([\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}]) & = 2 \times [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}] + 2 \times [\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 \\ 4 \\ 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 8 \\ 8 \\ 8 \end{array}] \end{aligned}$

[top]

Vector space

[3,4,5]

vector space หรือ linear space คือ set ของ vector ที่มีเงื่อนไขว่า เมื่อนำเอา binary operation สองตัวคือ vectors addition และ vector-scalar multiplication (เขียนแทนด้วย

\cdot

) มาใช้แล้ว จะต้องสอดคล้องกับเงื่อนไขดังนี้

\forall x \in V, r \in ℜ \Rightarrow r \cdot x \in V

\forall x \in V, r, s \in ℜ \Rightarrow (r + s) \cdot x = r \cdot x + s \cdot x

\forall x, y \in V, r \in ℜ \Rightarrow r \cdot (x + y) = r \cdot x + r \cdot y

\forall x \in V, r, s \in ℜ \Rightarrow (r \cdot s) \cdot x = r \cdot (s \cdot x)

\forall x \in V \Rightarrow 1 \cdot x = x

\forall x, y \in V \Rightarrow x + y \in V

\forall x, y, z \in V \Rightarrow (x + y) + z = x + (y + z)

\exists e \in V, \forall x \in V \Rightarrow e + x = x, x + e = x

\exists y \in V, \forall x \in V \Rightarrow y + x = e

10.

\forall x, y \in V, \Rightarrow y + x = x + y

[top]

Linear combination

ถ้ามี

\vec{v}

ที่อยู่ใน vector space V แล้ว จะสามารถทำให้

\vec{v}

อยู่ในรูปของผลรวมของ vector-scalar multiplication ของ vector อื่นที่อยู่ใน vector space เดียวกันได้ [6]

\vec{v} = a_{1} \cdot \vec{u_{1}} + a_{2} \cdot \vec{u_{2}} + a_{3} \cdot \vec{u_{3}} + . . . + a_{n} \cdot \vec{u_{n}}

โดยที่

\vec{v}, \vec{u_{1}}, . . ., \vec{u_{n}} \in V

และ

a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{n} \in ℜ

เรียก

\vec{v}

ว่าเป็น linear combination ของ

\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{u_{3}}, . . ., \vec{u_{n}}

ตัวอย่าง 1 :

Element of Real :

[\begin{matrix} 11 \\ 16 \end{matrix}] = 2 \cdot [\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}] + 3 \cdot [\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}]

นั่นคือ

[\begin{matrix} 11 \\ 16 \end{matrix}]

คือ linear combination ของ

[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}], [\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}]

Polynomail :

x^{2} - 1 = a_{1} (1) + a_{2} (x + 1) + a_{3} (x^{2} + x + 1)

เมื่อ

a_{3} = 1, a_{2} + a_{3} = 0, a_{3} + a_{2} + a_{1} = 0

นั่นคือ

x^{2} - 1

คือ linear combination ของ

1, x + 1, x^{2} + x + 1

เราอาจได้เห็นรูปแบบของการเขียน linear combination คือ

\sum_{i = 1}^{n} β_{i} \cdot \vec{x_{i}}

β_{i} \in ℜ

และ

\vec{x_{i}} \in V

ตัวอย่าง 2 : ถ้ามี

\vec{v_{1}} = [\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}]

\vec{v_{2}} = [\begin{matrix} 8 \\ 13 \\ 21 \end{matrix}]

จงแสดงว่า

\vec{u} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}]

เป็น linear combination ของ

\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}

ตามนิยามแล้ว ถ้า

\vec{u}

เป็น linear combination ของ

\vec{v_{1}}

และ

\vec{v_{2}}

แล้ว เราย่อมจะหาค่า

a_{1}, a_{2}

ที่ทำให้สมการนี้เป็นจริง

\vec{u} = a_{1} \cdot \vec{v_{1}} + a_{2} \cdot \vec{v_{2}}

แทนค่าที่กำหนดมา

\begin{aligned} a_{1} \cdot [\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 5 \end{array}] + a_{2} \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 13 \\ 21 \end{array}] & = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}] \\ [\begin{array}{c} 2 \times a_{1} \\ 3 \times a_{1} \\ 5 \times a_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 \times a_{2} \\ 13 \times a_{2} \\ 21 \times a_{2} \end{array}] & = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}] \end{aligned}

นั่นคือ

\begin{aligned} (1) & 2 a_{1} + 8 a_{2} & = 1 \\ (2) & 3 a_{1} + 13 a_{2} & = 1 \\ (3) & 5 a_{1} + 21 a_{2} & = 2 \end{aligned}

เมื่อแก้สมการออกมาแล้วได้

a_{1} = \frac{5}{2}, a_{2} = \frac{- 1}{2}

แสดงว่า

\vec{u}

คือ linear combination ของ

\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}

linear combination ของ vector เป็นพื้นฐานสำคัญในเรื่อง linear algebra ซึ่งใช้กันบ่อยใน Machine learning

[top]

Vector spanning (Vector span / Span ) [7]

จะเรียกสั้นว่า span เป็นเรื่องต่อเนื่องจาก linear combination ความหมายของ span คือ ถ้ามี set ของ vector

X = {\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v_{3}}, . . ., \vec{v_{n}}}

แล้ว span ของ X คือ set ของ linear combination ของสมาชิกใน X เขียนแทนด้วย

span(X)

ถ้ามี

V = {\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}}

โดย

\vec{v_{1}} = [\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}], \vec{v_{2}} = [\begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix}]

จะได้ span(V) =

a_{1} \cdot \vec{v_{1}} + a_{2} \cdot \vec{v_{2}}

ตัวอย่าง 1 : กำหนดให้

V = {[\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}]}

จงพิสูจน์ว่า

span(V) = [\begin{matrix} 19 \\ 3 \end{matrix}]

การพิสูจน์คือ การพยายามหาค่า

a_{1}, a_{2}

ที่ทำให้สมการ (4) เป็นจริง

\begin{aligned} (4) & [\begin{array}{c} 19 \\ 3 \end{array}] & = a_{1} \cdot [\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}] + a_{2} \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}] \\ [\begin{array}{c} 19 \\ 3 \end{array}] & = [\begin{array}{c} 2 \times a_{1} \\ 3 \times a_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 \times a_{2} \\ 2 \times a_{2} \end{array}] \end{aligned}

นั่นคือ

\begin{aligned} 19 & = 2 a_{1} + a_{2} \\ 3 & = 3 a_{1} + 2 a_{2} \end{aligned}

ได้ผลลัพธ์คือ $a_{1} = 35, a_{2} = - 51$ แสดงว่าสมการ (4) เป็นจริงได้ ดังนั้น $span(V) = [\begin{matrix} 19 \\ 3 \end{matrix}]$ เป็นจริง

ตัวอย่าง 2 กำหนดให้ V = ${[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}], [\begin{matrix} - 4 \\ - 2 \end{matrix}], [\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}], [\begin{matrix} 4 \\ - 2 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}]}$ vector span คือ set ของ span(V) เราสามารถสร้าง vector span จาก V โดยการสร้าง linear combination จากสมาชิกขอ V เช่น

$\begin{aligned} (5) & [\begin{array}{c} 2.05 \\ 1.21 \end{array}] & = 0.196 \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}] + 0.62 \cdot [\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}] \\ (6) & [\begin{array}{c} 2.34 \\ 1.904 \end{array}] & = 0.62 \cdot [\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}] + 0.88 \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}] \end{aligned}$

นำผลจาก (5),(6) มาเขียนเป็น set , S = ${[\begin{matrix} 2.05 \\ 1.21 \end{matrix}], [\begin{matrix} 2.34 \\ 1.904 \end{matrix}]}$ set นี้ก็คือ vector span ของ V จะสังเกตุได้ว่า ทั้ง S,V $\in ℜ^{2}$

รูปที่ 4

อาจจะช่วยให้เห็นภาพชัดขึ้นการ span คืออะไร ถ้าเอาสมาชิกใน V มาวาดเป็นลูกศรตามระบบ coordinate เส้นสีเขียวแทน vector ที่เป็นสมาชิกของ V เส้นสีแดง แทน vector ใน S ซึ่ง span มาจาก V (linear combination ด้วยสมาชิกของ V) หากดูผ่านโดยเร็ว อาจมองว่า vector สีแดง ไม่ได้สัมพันธ์อะไรกับ vector สีเขียวเลย แต่แท้จริง vector สีแดงเกิดจาก linear combination ของ vector สีเขียว ดังนั้น vector สีแดงจึงมี information ที่มาจาก vector สีเขียว

[top]

Linear dependence และ Linear independence [8]

เอานิยามมาเขียนไว้ก่อน

"A sequence of vectors

({\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{k}}})

from a vector space V is said to be linearly dependent, if there exist scalars

a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}

, not all zero, such that

a_{1}{\vec {v_{1}}}+a_{2}{\vec {v_{2}}}+\cdots +a_{k}{\vec {v_{k}}}={\vec {0}},

หรืออาจกล่าวอีกแบบว่า ถ้ามี V = { $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, . . ., \vec{v_{n}}$ } และ linear combination $\vec{0} = a_{1} \cdot \vec{v_{1}} + a_{2} \cdot \vec{v_{2}} + . . . + a_{n} \cdot \vec{v_{n}}$ แล้ว ถ้ามีเพียง $a_{1} = 0, a_{2} = 0, a_{3} = 0, . . ., a_{n} = 0$ กรณีเดียวที่ทำให้ linear combination นั้นเป็นจริง เราจะเรียก V ว่าเป็น linearly independent ถ้าไม่จะเรียกเป็น linearly dependent

ตัวอย่าง 1 กำหนด V = { $[\begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix}], [\begin{matrix} 4 \\ 8 \end{matrix}]$ } แสดงให้ดูว่า V เป็น linear independence หรือ linear dependence

เราต้องหาค่า $a_{1}, a_{2}$ จากสมการ

$\begin{matrix} (7) & a_{1} \cdot [\begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix}] + a_{2} \cdot [\begin{matrix} 4 \\ 8 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}] \end{matrix}$

นั่นคือ

$\begin{aligned} [\begin{array}{c} 3 a_{1} \\ 6 a_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 a_{2} \\ 8 a_{2} \end{array}] & = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}] \\ 3 a_{1} + 4 a_{2} & = 0 \\ 6 a_{1} + 8 a_{2} & = 0 \\ (8) & a_{1} & = \frac{- 4}{3} a_{2} \end{aligned}$

จาก (8) จะเห็นว่าค่าของ $a_{1}, a_{2}$ มีหลายค่าที่เป็นไปได้ เช่น (0,0), ( $\frac{- 4}{3}$ ,1) ที่ทำให้ (7) เป็นจริง จึงสรุปได้ว่า V มีลักษณะเป็น linearly dependent

ข้อสังเกตุ : เมื่อเอา vector ใน V (linear dependent) มาเขียนบนกราฟ จะเห็นว่าทั้งสองชี้ไปทางเดียวกัน ต่างกันที่ความยาว (ขนาด) เป็นการบอกว่า linear dependent vector มีข้อมูลที่ซ้ำซ้อนกันอยู่ (redundant information)

ตัวอย่าง 2 : กำหนด V = { $[\begin{matrix} - 5 \\ - 3 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}]$ } แสดงให้ดูว่า V เป็น linearly independence หรือ linearly dependence

ใช้วิธีการเดียวกับตัวอย่างก่อน

$\begin{matrix} (9) & a_{1} \cdot [\begin{matrix} - 5 \\ - 3 \end{matrix}] + a_{2} \cdot [\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}] \end{matrix}$

$\begin{aligned} [\begin{array}{c} - 5 a_{1} \\ - 3 a_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 a_{2} \\ 2 a_{2} \end{array}] & = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}] \\ - 5 a_{1} + a_{2} & = 0 \\ - 3 a_{1} + 2 a_{2} & = 0 \end{aligned}$

จะเห็นว่าค่าของ $a_{1}, a_{2}$ เป็นไปได้กรณีเดียวที่จะทำให้ (9) เป็นจริงคือ (0,0) จึงสรุปได้ว่า V มีลักษณะเป็น linearly independent

ข้อสังเกตุ vectors ใน V ซึ่งเป็น linearly independent มีทิศทางไม่สอดคล้องกัน

[top]

Norm ของ vector [9]

"norm" หรือ "magnitude" ของ vector คือค่าของขนาดหรือความยาวของ vector ที่นับจากจุด origin ไปยังจุดปลายของ vector ในระบบ coordinate

norm ของ $v e c u$ เขียนแทนด้วย $∣∣ u ∣∣$ คุณสมบัติของ norm มีดังนี้

1. $α \in ℜ, ∣∣ α \vec{v} ∣∣=∣ α ∣ \cdot ∣∣ \vec{v} ∣∣$

2. $∣∣ \vec{v} + v e c u ∣∣\leq∣∣ \vec{v} ∣∣ + ∣∣ \vec{u} ∣∣$

3. $∣∣ \vec{v} ∣∣\geq 0$

การคำนวณหาค่าของ norm

1. Euclidean norm เป็นการ norm ที่ใช้บ่อย การคำนวณใช้หลักการของ Pythagorean equation [10] คือการวัดตามแนวเส้นทะแยงมุม เช่น $\vec{v} = [\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}]$

$‖ \vec{v} ‖ = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$

รูปที่ 5

$\begin{aligned} \vec{v_{2}} & = [\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}] \\ ‖ \vec{v_{2}} ‖ & = \sqrt{2^{2} + - 2^{2} + 3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{33} \end{aligned}$

Euclidean norm บางครั้งจะเรียกว่า $L_{2}$

2. Manhattan norm ได้มาจากวิธีการเดินทางใน Manhattan ซึ่งวางผังเมืองไว้เป็นแบบ grid ขนาดของ vector ที่วัดด้วยวิธีนี้คือผลรวมของ element ใน vector นั้น เช่น $\vec{v} = [\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}]$ norm จะมีค่า $‖ \vec{v} ‖ =∣ 3 + 4 ∣= 7$ Manhattan norm บางครั้ง จะเรียกว่า $L_{1}$